Richtungsableitung K-Norm bzw Minkowski Funktional

28.07.2015, 15:52	melianarana	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtungsableitung K-Norm bzw Minkowski Funktional Hallo, ich versuche für eine convexe Funktion vu beweisen, dass ihre Richtungableitung in jede Richtung höchstens 1 ist: Es sei K ein konvexer Körper in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ der den Einheitsball um den Ursprung beinhaltet: $\begin{eqnarray} <br /> f_K (x) = \inf {t \geq 0 : x \in tK}<br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich also zB mit $\begin{eqnarray} h_x \end{eqnarray}$ die "Höhe" des Körpers in Richtung x bezeichne (also der euklidische Abstand vom Ursprung zum Rand von K in Richtung x), dann ist $\begin{eqnarray} f_K (x) = \frac{ \\| x \\| }{h_x} \end{eqnarray}$ , dann scheitere ich daran mit dem Beweis daran, dass ich ja auch in eine andere Richtung als auf dem x-Vektor die Richtungsableitung betrachten muss (siehe Bild). (mein Ansatz war, einfach die Definition der Richtungsableitung zu verwenden: $\begin{eqnarray} \delta _v f_K (x) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f_K (x+tv) - f_K (x)}{t} \end{eqnarray}$ )

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