Kompaktheit von Teilmengen

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Krawuzel Auf diesen Beitrag antworten »
Kompaktheit von Teilmengen
Sitze und lerne für eine Prüfung, wobei in meinen Unterlagen widersprüchliche Lösungen zu ein und dem selben Beispiel auftauchen.

1.) Untersuche, ob die Teilmengen von R bezüglich der üblichen Metrik kompakt sind:

a)
b)

hierzu meine Lösungen:
a) da nicht abgeschlossen, auch nicht kompakt
b) ebenso

Passt das?

2.) Grundraum: Q mit übl. Metrik:
a)
b)


hierzu habe ich mir nur vermerkt: beide nicht kompakt - leider ohne Hinweis, weshalb....


3.) Liegen mir zwei Mitschriften zweier Prüfungen vor:

hierbei steht: kompakt, da folgenkompakt:


meines Erachtens liegt aber nicht in A, also wieso sollte es dann kompakt sein?

b) (also im Prinzip dasselbe wie bei a) )
hierbei ist vermerkt: nicht kompakt

Ich wäre über Hilfe wirklich sehr sehr dankbar!!!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

1) genau richtig.

2) ist ebenfalls richtig und es folgt direkt aus 1). Im Gegensatz zu Offenheit und Abgeschlossenheit hängt Kompaktheit in metrischen Räumen nicht vom übergeordneten Raum ab, sondern nur von der Metrik, die dieser auf der Teilmenge induziert. Diese ist in 1) und 2) die selbe. Das liegt an dem Kriterium, das du zitiert hast, dass ein metrischer Raum genau dann kompakt ist, wenn es zu jeder Folge darin eine in dem Raum konvergente Teilfolge gibt. Um dieses Kriterium zu formulieren, braucht man garkeine Eigenschaften eines übergeordneten Raums.

3a) ist natürlich nicht kompakt, da hast du Recht. Allerdings sieht mir der Beweis auch eher nach einem Widerlegungsversuch aus, denn mit einem einzigen Beispiel ließe sich die Folgenkompaktheit ja eh nicht zeigen. Das ist also vollkommener Blödsinn, selbt wenn in liegen würde.

3b) genauso wie bei a).
Krawuzel Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank für die rasche Antwort!
Bin leider erst jetzt dazu gekommen, es mir anzuschauen.

Danke noch mal smile
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