Thomaesche Funktion, riemann-integrierbar

29.07.2015, 16:41

StrunzMagi

Thomaesche Funktion, riemann-integrierbar

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sei für alle $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ definiert durch:
$\begin{eqnarray*} f(x)= \begin{cases} 1/q, & \mbox{für } x=p/q, ggT(p,q)=1, p,q \in \mathbb{N}, q \ge 1 \\ 0, & \mbox{für }x \mbox{ irrational} \end{cases} \end{eqnarray*}$
Man zeige, dass f Riemann-integrierbar ist mit
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 f(x) dx =0 \end{eqnarray*}$

Hallo,
Ich bin auf der Suche nach Treppenfunktionen $\begin{eqnarray*} \phi, \psi \in \tau[0,1] : \phi < f < \psi: \forall \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \psi(x) - \phi(x) dx < \epsilon \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} \forall x \in [0,1] : \phi(x)=0 \end{eqnarray*}$ wähle ich die Nullfunktion.

Ich teile einfach mal meine Überlegungen (kein Beweis+unmathematische Sprache)
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig so gilt $\begin{eqnarray*} f(x_i) > \epsilon \end{eqnarray*}$ nur für endlich viele $\begin{eqnarray*} i \in \{1,..,n\} \end{eqnarray*}$ .
Da es nur endlich viele rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} x_n=p_n/q_n \end{eqnarray*}$ mit Nenner $\begin{eqnarray*} q_n \le \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n \in [0,1] gibt \end{eqnarray*}$ . Denn wir haben nur endlich viele potenzielle Nenner: $\begin{eqnarray*} 1,2,3,..,\lfloor \frac{1} {\epsilon}-1 \rfloor) \end{eqnarray*}$ . Und p darf auch nicht größer als der Nenner werden sonst überschreitet es seinen Definitionsbereich.

$\begin{eqnarray*} \psi (x)=\begin{cases} \epsilon, & \mbox{für } x\not\in \{x_1,..,x_n\} \\ 1, & \mbox{für }x \in \{x_1,..,x_n\} \end{cases} \end{eqnarray*}$
Aber das wäre keine Treppenfunktion, den wir haben entartete Intervalle, was nicht sein darf laut Definition.
Also hätte ich daran gedacht in kleinen Umgebungen um die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ 1 zu wählen:
$\begin{eqnarray*} \psi (x)=\begin{cases} \epsilon, & \mbox{für } sonst \\ 1, & \mbox{für }|x-x_i| < \delta \end{cases} \end{eqnarray*}$
wobei ich noch nicht weiß wie klein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ zu wählen ist.
So wäre $\begin{eqnarray*} \psi > f \forall x\in [0,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \psi(x)dx = \epsilon - n \delta \epsilon + n\delta \end{eqnarray*}$
Weil der Funktionswert immer $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist außer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Mal die Länge $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ da ist er 1.

Sagt ruhig wenn das Mist ist Forum Kloppe

LG,
MaGi

29.07.2015, 18:06

Guppi12

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Hallo Magi,

Zitat:

Sagt ruhig wenn das Mist ist

Blödsinn, das ist genau die richtige Idee. Formuliere es aus, kümmere dich um die Feinheiten (wie groß muss $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ sein etc.) und du bist fertig.

Gruß,
Guppi

29.07.2015, 21:19

StrunzMagi

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Hallo,
Danke für die Rückmeldung.
Ich hätte es jetzt so gemacht:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig so gibt es nur endlich viele Stellen $\begin{eqnarray*} x_1,..,x_n \in [0,1]: f(x_i) > \epsilon/2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \psi (x)=\begin{cases} \epsilon/2, & \mbox{für } sonst \\ 1, & \mbox{für }|x-x_i| < \delta \end{cases} \end{eqnarray*}$ So ist $\begin{eqnarray*} \psi \ge f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \psi(x) dx = \frac{\epsilon}{2} - n 2 \delta \frac{\epsilon}{2} + n 2 \delta \end{eqnarray*}$
Wähle $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} \delta(2n-n\epsilon)= \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ . Umgeformt: $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\epsilon}{4n-2n\epsilon} \end{eqnarray*}$
Denn ich hatte vorhin vergessen dass die Länge dieser Intervalle ja $\begin{eqnarray*} 2 \delta \end{eqnarray*}$ sind.

$\begin{eqnarray*} \psi (x)=\begin{cases} \epsilon/2, & \mbox{für } sonst \\ 1, & \mbox{für }|x-x_i| < \frac{\epsilon}{4n-2n\epsilon} \end{cases} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi(x)=0 \forall x\in [0,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$

29.07.2015, 21:37

Guppi12

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Ein paar kleine Anmerkungen:

1) Den 'sonst'-Teil bei abschnittsweise definierten Funktionen setzt man eigentlich immer nach ganz unten

2) $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wird definiert bevor es verwendet wird, nicht danach. Auch wenn dies im Beweisfindungsprozess genau anders herum war, so wird es nicht aufgeschrieben.

3) Wähle $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zusätzlich noch o.B.d.A kleiner als die Hälfte des kleinsten der Abstände der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ , denn sonst könnte es sein, dass du zwischen zwei solcher $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Intervalle ein entartetes Einpunktintervall hast.

4) Stelle sicher, dass $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ gilt, indem du zum Beispiel vorher o.B.d.A $\begin{eqnarray*} \epsilon < 2 \end{eqnarray*}$ festlegst.

Insgesamt kannst du die erste Definition von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ weglassen und nur die zweite hinschreiben, die erste ist wieder so etwas, was nur im Beweisfindungsprozess auftaucht.

Das sind aber wie du siehst, alles eher Kleinigkeiten bzw. kleine Formtipps. Ansonsten ist der Beweis gut Freude

30.07.2015, 08:54

StrunzMagi

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Zitat:

Original von Guppi12
3) Wähle $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zusätzlich noch o.B.d.A kleiner als die Hälfte des kleinsten der Abstände der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ , denn sonst könnte es sein, dass du zwischen zwei solcher $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Intervalle ein entartetes Einpunktintervall hast.

4) Stelle sicher, dass $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ gilt, indem du zum Beispiel vorher o.B.d.A $\begin{eqnarray*} \epsilon < 2 \end{eqnarray*}$ festlegst.

Hallo,
Danke für deine Rückmeldung.
Bezüglich 2)
Ja, klar ich müsste $\begin{eqnarray*} \delta :=\min\{ \frac{\epsilon}{4n-2n\epsilon}, \min_{i\in\{2,..,n\}} \frac{|x_{i-1}-x_i|}{2}\} \end{eqnarray*}$ sonst könnten sich die Definitionsintervalle ja auch überschneiden.
Aber bei der Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta=\min_{i\in\{2,..,n\}} \frac{|x_{i-1}-x_i|}{2} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \psi (x) dx= \epsilon \end{eqnarray*}$ nicht mehr gegeben?
Bezüglich 3)
Aber $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ muss doch beliebig sein, da kann ich es doch nicht einschränken?

LG,
MaGi

30.07.2015, 09:08

Guppi12

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Guten Morgen,

Zitat:

Aber bei der Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta=\min_{i\in\{2,..,n\}} \frac{|x_{i-1}-x_i|}{2} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \psi (x) dx= \epsilon \end{eqnarray*}$ nicht mehr gegeben?

Das ist nicht schlimm, es gilt ja $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \psi (x) dx\leq \epsilon \end{eqnarray*}$ und das ist, was wir haben wollen.

Zitat:

Aber $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ muss doch beliebig sein, da kann ich es doch nicht einschränken?

Genau das selbe, wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon>2 \end{eqnarray*}$ ist, dann zeigen wir es trotzdem für $\begin{eqnarray*} \epsilon'<2 \end{eqnarray*}$ und am Ende ist dann $\begin{eqnarray*} \int \psi-\phi < \epsilon' < 2 \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ , das zu zeigende ist also trotzdem erfüllt.

Ganz allgemein kann man bei allen Konstruktionen, wo man zeigen muss, dass ein Ausdruck sich für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ irgendwie durch $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ nach oben beschränken lässt, bereits o.B.d.A annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kleiner als ein vorgegebener Wert ist. Nur in die andere Richtung darf man das natürlich nicht machen.

30.07.2015, 17:26

StrunzMagi

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Vielen Dank.
Das Thema ist für mich abgehackt!

LG,
MaGi

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