Verschoben! Lage des Umkreismittelpunktes (Dreieck) |
| 29.07.2015, 18:37 | Shalec | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Lage des Umkreismittelpunktes (Dreieck) ich benötige einen Ansatz, womit man entscheiden kann, ob der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks innerhalb oder außerhalb des Dreiecks liegt. Bekannt sind die Längen aller drei Seiten. (Hier als Beispiel: 7, 5 und 3 cm) Ich habe schon einige Suche im Netz angestellt, aber nichts dazu gefunden. Es gab nur in einer Google-Vorschau zu einer Abitursaufgabe aus Bayern eine entsprechende Aufgabe in einer PDF, die allerdings offline ist. Darin war die Rede von Innenwinkeln. Also womit kann ich das entscheiden? Viele Grüße und vielen Dank |
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| 29.07.2015, 18:41 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt innerhalb des Dreiecks, im stumpfwinkligen Dreieck außerhalb des Dreiecks. Im rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der längsten Seite (Satz des Thales). Das ist aber Thema Klasse 7, und hat nichts mit Hochschulmathematik zu tun. 
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| 29.07.2015, 18:58 | Shalec | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, gut da gebe ich dir dann recht. Geometrie ist derzeit ein Studienfach, wo in ein paar Tagen eine Prüfung ansteht, jedoch nicht für mich 
Da ich keinerlei Wissen zu Geometrie habe, fand ich die Aufgabe sehr interessant. Die Konstruktion des Dreiecks und Berechnung des Radius habe ich mir selber erschlossen, durch hinschauen. 
Eine Kleinigkeit war mir noch aufgefallen: Die Mittelsenkrechten zerlegen das betrachtete Dreieck in 3 paare kongruenter Dreiecke (Kongruent nehme ich hier aus der Mengentheorie und Topologie einfach mal an, dass es bedeutet, dass die Dreiecke die gleiche Form haben und mittels euklidischen Bewegungen in eine Überdeckung (ohne Paradoxien) überführt werden können.) Nun ist mir aber aufgefallen, dass die Umkreismittelpunkte dieser 6 Teildreiecke alle zusammen auf einem Kreis liegen. Gibt es dazu bereits einen Beweis? Habe beim Ergoogeln nichts passendes finden können. Das einzige was ich mir nicht zusammenreimen konnte, ist die Entscheidung. Ich hatte vermutet, nachdem ich das mit dem "Innenwinkeln" gelesen hatte, dass der Umkreismittelpunkt im inneren des Dreiecks liegt, wenn die Summer je zwei beliebiger Winkel >= 90° ist. Das es mit spitz- und stumpfwinklig was zu tun hat, war mir da absolut entgangen 
Danke also ^^ |
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| 29.07.2015, 19:01 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da man für die Berechnung der Winkel - wenn man sie nicht messen darf - trigonometrische Formeln braucht, ist 'Klasse 7' etwas übertrieben.
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| 29.07.2015, 19:02 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Deshalb ***verschoben ***
Nun, ich denke, das kann sicher auch ohne trigonometrische Formeln transparent gemacht werden. Zumindest müssen das bereits meine "Zweitklässler" (Klasse 6) wissen
mY+ |
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| 29.07.2015, 19:09 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@wopi: Ich habe mich auf diesen Satz bezogen:
Und diesen Ansatz bzw. diese Unterscheidung der Lage des Mittelpunkt des Umkreises ist Thema Klasse 7. Für die Durchführung bzw. Berechnung durch trigonometrische Ansätze wandert das Thema nach Klassenstufe 9 - da hast du Recht.
Spielt aber eigentlich auch keine Rolle, da wir hier ein Geometrieforum haben, wo Fragen aus Schulmathematik und Hochschulmathematik gestellt werden dürfen. Nur das Kleingedruckte lesen anscheinend wenige...
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| 29.07.2015, 19:33 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn ich deine Frage richtig verstehe, ist das eher trivial (und ohne Mengentheorie bzw. Topologie zu sehen
)eigentlich hat diese Frage bereits Mathema beantwortet: es handelt sich jeweils um rechtwinkelige 3ecke, deren Hypothenuse gleich dem Umkreisradius ist, daher heben deren Umkreismittelpunkte alle denselben Abstand 0.5 r von U. |
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| 29.07.2015, 20:03 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du meinst die halbe Hypotenuse |
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| 30.07.2015, 08:42 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könntet ihr mir das einmal näher beschreiben? Ich verstehe es nicht. Wird speziell ein rechtwinkliges Dreieck betrachtet? Wenn ich dessen Mittelsenkrechten nehme, erkenne ich keine Zerlegung des Ausgangsdreiecks in drei Paare kongruenter Dreiecke. Ich sehe da nur drei Dreiecke und ein rechtwinkliges Trapez. |
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| 30.07.2015, 11:42 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
meine untopologische Vermutung war diese
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| 30.07.2015, 19:41 | Shalec | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aus der Topologie hatte ich mir den Begriff der Kongruenz hergeleitet. 
Ich meine genau das, was du in deinem Bild darstellst. Anbei nochmal eine geogebra-Datei in einem rar-Archiv gepackt. Ich hatte jetzt mal ein wenig nachgelesen und bin auf eine Datei der Uni Thüringen (? vlt auch Tübingen...finde die Datei nicht mehr) Darin hat der Dozent erklärt, dass diese These erst im Jahr 2001 bewiesen wurden und der Beweis sehr schwer sein soll. Den Beweisführenden hatte der Doz auch genannt. So trivial scheint mir das dann nicht. Aber offensichtlich, ja. Ich habe nun auch den Begriff der Kongruenz für Dreiecke nachgeschlagen, dieser bedeutet nur "Deckungsgleich", einfach ausgedrückt. Also war das mit den euklidischen Bewegungen (ohne Streckung, Paradoxien...) nicht ganz verkehrt.
Aber was ich sehr interessant finde: Ich habe diesen Ansatz, der offenbar in fast jeder 7. Klasse gelehrt wird, nirgends im Internet finden können. Möglicherweise sind meine Suchparameter falsch gewesen. |
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| 30.07.2015, 22:03 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
kann passieren, Herr Oberleerer
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| 30.07.2015, 23:47 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß ja nicht, was du für Suchparameter hattest. Habe bei google mal "Lage des Umkreismittelpunktes bei Dreiecken" grade eingegeben, und nach Wikipedia lag diese Seite auf Platz 2.
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| 31.07.2015, 00:16 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Klar doch, so etwas passiert mir öfter. Aber warum so agressiv (zumindest persönlich)? Man darf doch wohl auch einen Flüchtigkeitsfehler der Vollständigkeit halber korrigieren! [Wo wir gerade dabei sind: Oberleerer leeren Bierflaschen!
] VLG Wolfgang
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| 31.07.2015, 09:10 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Falls Werner die Hypotenusen der sechs rechtwinkligen Teildreiecke, mit "Umkreisradius" aber den des Gesamtdreiecks meint, dann stimmt die Aussage "Hypotenuse = Umkreisradius" (also ohne das "halb") durchaus.
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| 31.07.2015, 12:09 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dankeschön HAL 9000, genauso war´s gemeint @wopi: da war nix agressiv, (da hätte ich als eingeborener Bergp(p)ap(p)ua - damit´s ja nicht falsch ist und sich der Oberleerer wieder leeren muß - ganz andere Möglichkeiten
)aber auch du mußt nicht überall (d)einen Senf dazu geben naja, so hat halt jeder seinen Spaß |
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| 31.07.2015, 13:04 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und ich hatte die ganze Zeit die folgende Figur vor meinem Auge: [attach]38867[/attach] Wir Mathematiker sollen nicht so hyperkritisch und pingelig sein, heißt es oft. Man sieht aber, was es für einen Unterschied macht, von welcher Figur man ausgeht und ob man von Strecken oder Geraden spricht. So kam ich jedenfalls zu meinen drei Dreiecken und dem rechtwinkligen Trapez. Da ich sowieso Lehrer bin, ernenne ich mich jetzt auch gleich zum Oberlehrer (gibt's diesen Begriff außer zur Verunglimpfung eigentlich überhaupt noch?) und verkünde eine mögliche Beschreibung der anderen Situation: Man zeichnet vom Umkreismittelpunkt eines Dreiecks aus die Lotstrecken auf die Seiten und die Strecken zu den Ecken des Dreiecks. Dadurch zerfällt das Dreieck in drei Paare kongruenter Dreiecke ... |
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| 31.07.2015, 13:07 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das hat mich jetzt persönlich interessiert, und die Antwort laut Wiki lautet: ja. Viele Grüße Steffen EDIT: Ts, ts, da hab ich noch auf den Kugel-Artikel gezeigt... |
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| 31.07.2015, 13:21 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und ich wunderte mich schon, was die Kugel nun mit dem Oberlehrer zu tun hat. Der neue Link ist schon besser - aber noch nicht optimal: Es geht wohl um diese Seite. [...bin auch ein Oberlehrer...]
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| 31.07.2015, 13:36 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nett, da ist das L von der Kugel übriggeblieben, zum Oberlehrer gerutscht und hat ihn zu einem diminutivierten Oberlehrerl gemacht... Danke für die Korrektur. |
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| 31.07.2015, 18:46 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Damit können alle Oberlehrer jetzt eine ruhige Kugel schieben. Aber das tun sie nach Meinung der Leute ja sowieso. |
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| 01.08.2015, 10:29 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Lage des Umkreismittelpunktes (Dreieck) Diese Frage lässt sich sehr einfach mit Hilfe des Pythagoras lösen. Ist das Dreieck rechtwinklig, dann gilt , wobei a die längste Seite ist. Ist das Dreieck spitzwinklig, dann ist die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten größer als im rechtwinkligen Fall, also . Ansonsten . Da , liegt der UMP außerhalb des Dreiecks. |
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| 01.08.2015, 10:37 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Welche These? Dass die Umkreismittelpunkte der 6 Dreiecke auf einem Kreis liegen, doch wohl nicht. |
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| 01.08.2015, 13:05 | Shalec | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab das eben nochmal rausgesucht: Auf dieser PDF auf Seite 9. Hierin ist allerdings die Rede, dass die Umkreismittelpunkte der Seitenhalbierenden auf einem Kreis liegen. Viele Grüße |
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| 01.08.2015, 13:14 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was sollen denn die "Umkreismittelpunkte der Seitenhalbierenden" sein?Edit: Du meinst offenbar den Satz "die 6 Teildreiecke, in die das Dreieck von seinen Seitenhalbierenden zerlegt wird, haben noch eine weitere Eigenschaft: Ihre Umkreismittelpunkte liegen auf einem Kreis" Dies ist aber eine ganz andere These, als die, die du weiter oben aufgebracht hast. Betrachtet man nämlich die 6 Dreiecke, die im Umkreismittelpunkt eine gemeinsame Ecke haben, dann ist es trivial, dass deren Umkreismittelpunkte auf einem Kreis liegen, zumal es davon nur drei gibt und jedes Dreieck einen Umkreis hat. Man kann auch sagen, dass zwei benachbarte dieser Dreiecke, von denen jeweils eine Kante auf unterschiedlichen Seiten des Dreiecks ABC liegen, ein (u. U. im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks ABC entartetes) Sehnenviereck bilden. Die Mittelpunkte der Kreise um diese drei Sehnenvierecke sind die Umkreismittelpunkte der vorgennanten 6 Dreiecke. Zusammenhang mit Satz des Thales. |
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| 01.08.2015, 13:31 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Interessant. Er hat aber u.a. den Satz von Miquel vergessen. |
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| 01.08.2015, 17:14 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So sehe ich das auch. Danke, wenigstens einer, der es versteht! :-) [Ich denke, der Spaß ist jetzt ausgeluscht! Oder müsst ihr wirklich immer das letzte Wort haben? 
]
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| 02.08.2015, 15:10 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ohne noch irgendwelche weiteren Beiträge gelesen zu haben, da gibt´s für mich nur eines: Filter der " nicht einmal zu ignorierenden" (dort schon eingetragen)
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