Sonderfall Extrema bei f(x,y)

30.07.2015, 08:36

wopi

Sonderfall Extrema bei f(x,y)

Meine Frage:
Wie verfährt man zur Bestimmung der lokalen Extremstellen einer Funktion mit zwei Variablen weiter, wenn die Hessematrix den Wert 0 hat?
[ich finde es im Moment nirgends!]

Meine Ideen:
Ich denke, dass man analog zu drei Variablen die HM zu A erweitert:
$\begin{eqnarray*} A =\begin{pmatrix} 0 & fx & fy \\ fx & fxx & fxy \\ fy & fyx & fyy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann (überraschenderweise) für det(A) > 0 ein Maximum, für det(A) < 0 ein Minimum vorliegt?

Wie geht es weiter, wenn det(A) = 0 gilt?

30.07.2015, 09:32

Ehos

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Im allgemeinen Fall ist die Hessematrix eine nxn-Matrix. Wenn deine Funktion also von n=2 Variablen abhängt, muss die Hessematrix eine 2x2-Matrix sein (keine 3x3-Matrix). Um die Extrema von Funktionen mit n Variablen zu finden, geht man wie folgt vor: Man betrachtet die Taylorreihe der Funktion bis zum quadratischen Glied, also

$\begin{eqnarray*} f(\vec x +\Delta \vec x)\approx \underbrace{f(\vec x)}_{\text{konstantes Glied}}+\underbrace{\nabla f\cdot \Delta \vec x}_{\text{lineares Glied}}+\underbrace{\tfrac{1}{2} \Delta \vec x\cdot H \Delta \vec x}_{\text{quadratisches Glied}} \end{eqnarray*}$

Bezeichnung:
$\begin{eqnarray*} \nabla f=\begin{pmatrix} \tfrac{\partial f}{\partial x_1} \\ ... \\ \tfrac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H=\begin{pmatrix} \tfrac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_1} & ...& \tfrac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_n}\\... & ...& ... \\ \tfrac{\partial^2f}{\partial x_n \partial x_1}&... & \tfrac{\partial^2f}{\partial x_n \partial x_n} \end{pmatrix}=\text{Hessematrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\...\\ x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec \Delta x=\begin{pmatrix} \Delta x_1\\... \\ \Delta x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
------------------------------------------------
Fallunterscheidung für den allgemeiner Fall mit n Variablen:

- Maximum, wenn $\begin{eqnarray*} \nabla f=0 \end{eqnarray*}$ und wenn für alle Eigenwerte der nxn-Hessematrix H gilt $\begin{eqnarray*} \lambda_k<0 \end{eqnarray*}$

- Minimum, wenn $\begin{eqnarray*} \nabla f=0 \end{eqnarray*}$ und wenn für alle Eigenwerte der nxn-Hessematrix H gilt $\begin{eqnarray*} \lambda_k>0 \end{eqnarray*}$

- Sattelpunkt, wenn $\begin{eqnarray*} \nabla f=0 \end{eqnarray*}$ und wenn für alle Eigenwerte der nxn-Hessematrix H gilt $\begin{eqnarray*} \lambda_k \neq 0 \end{eqnarray*}$ , wobei diese Eigenwerte nicht einheitliche Vorzeichen haben dürfen

- keine Aussage, wenn $\begin{eqnarray*} \nabla f=0 \end{eqnarray*}$ und wenn mindestens für einen Eigenwert der nxn-Hessematrix H gilt $\begin{eqnarray*} \lambda_k=0 \end{eqnarray*}$ .
------------------
Hat man nur n=2 Variablen, kann man diese Fallunterscheidungen mit Hilfe der Determinante det(H) der 2x2-Hessematrix ausdrücken. Das ist aber ein Spezialfall! Ich würde aber immer die oben beschriebenen Fallunterscheidungen benutzen , weil diese für alle Dimensionen n gelten.

30.07.2015, 09:39

wopi

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Danke für die interessanten Ausführungen!
Ich entnehme dem, dass es tatsächlich den Fall
'auch durch weitere Untersuchungen keine Aussage möglich' gibt?

Ich hatte die (3x3) Matrix A aber als erweiterte Hessematrix bezeichnet :-)
und mal irgendwo gelesen, dass man den Fall det(H)=0 so weiter bearbeiten kann.

30.07.2015, 09:41

Guppi12

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Hallo wopi,

ich sehe nicht so ganz, was das Aufstallen der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bringen soll. In einem kritischen Punkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gilt doch $\begin{eqnarray*} f_x = f_y = 0 \end{eqnarray*}$ , daher $\begin{eqnarray*} A =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & fxx & fxy \\ 0 & fyx & fyy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Diese Matrix hat Determinante $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Soweit ich weiß gibt es im Fall der Semidefinitheit der Hessematrix auch keine Möglichkeit nach einem Kriterium weiter vorzugehen, zumindest ist mir keines bekannt. Dann muss man sich selbst eine andere Möglichkeit überlegen, nachzuprüfen, ob ein Extremum vorliegt.

Edit: Jetzt habe ich wohl doch zu lange gebraucht smile

Edit2: Das hier

Zitat:

- Sattelpunkt, wenn $\begin{eqnarray*} \nabla f=0 \end{eqnarray*}$ und wenn für alle Eigenwerte der nxn-Hessematrix H gilt $\begin{eqnarray*} \lambda_k \neq 0 \end{eqnarray*}$ , wobei diese Eigenwerte nicht einheitliche Vorzeichen haben dürfen

- keine Aussage, wenn $\begin{eqnarray*} \nabla f=0 \end{eqnarray*}$ und wenn mindestens für einen Eigenwert der nxn-Hessematrix H gilt $\begin{eqnarray*} \lambda_k=0 \end{eqnarray*}$ .

ist nicht ganz richtig.

Hinreichend für einen Sattelpunkt sind positive und negative Eigenwerte gleichzeitig, egal, ob einer gleich Null ist.

Das Kriterium liefert keine Aussage, falls es einen Eigenwert Null gibt und alle anderen Eigenwerte größer/gleich Null oder kleiner/gleich Null sind.

30.07.2015, 09:46

HAL 9000

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"Keine Aussage ist möglich" kann man so nicht stehen lassen
Man kann höchstens sagen

"Keine Aussage möglich nur unter Zuhilfenahme des Hessematrix-Kriteriums."

Tatsächlich gilt für jeden kritischen Punkt (d.h. Gradient=0), dass er entweder lokales Minimum, lokales Maximum oder Sattelpunkt ist. Wenn das Kriterium über die Hessematrix versagt, müssen eben andere Mittel herangezogen werden!

Beispielsweise liegt bei $\begin{align*} f(x,y)=x^4-y^4 \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ ein Sattelpunkt vor, weil in jeder Umgebung dieses Punktes sowohl positive als auch negative Funktionswerte auftreten.

30.07.2015, 09:47

wopi

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@gruppi12 danke für den Hinweis,

habe tatsächlich einen Skript, wo für drei Variable auf die analog erweiterte HM verwiesen wird.
Aber natürlich ist die in den kritischen Punkten auch = 0.

Gut dass man man drüber spricht!

unglücklich

@hal9000 ebenfalls danke. Man kann sich also mit Recht darauf berufen, dass ein allgemeines Entscheidungsverfahren bis zur endgültigen Entscheidung 'nicht formuliert' werden kann!

30.07.2015, 10:03

HAL 9000

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Was heißt "nicht formuliert werden kann"? Die Definition von lokalen Minimum, Maximum sowie Sattelpunkt ist doch klar, und die kann herangezogen werden.

Zumindest bei derartigen Schulbeispielen ist eigentlich immer was in der Richtung machbar. Nenne doch mal ein paar solcher kritischen Beispiele, die dir Kopfschmerzen machen, an denen kann man dann gängige alternative Techniken demonstrieren!

30.07.2015, 10:10

wopi

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Ich habe keinerlei Zweifel, dass du das mit jedem Beispiel, dass ich dir nennen könnte, hinkriegst!

Aber man kann halt offensichtlich kein allgemeines 'Rezept' formulieren.

Wenn mir mal ein kritisches Beispiel unterkommt, melde ich mich bei dir!

Noch mal danke an alle!

Wink

30.07.2015, 10:20

Guppi12

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Zitat:

Man kann sich also mit Recht darauf berufen, dass ein allgemeines Entscheidungsverfahren bis zur endgültigen Entscheidung 'nicht formuliert' werden kann!

Es gibt zumindest kein Verfahren, das auf Ableitungen im kritischen Punkt beruht und sicher entscheidet, was für eine Art kritischer Punkt vorliegt. Das kann man schon im eindimensionalen sehen. Man nehme $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R, x\mapsto e^{-\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray*}$ und setze:

$\begin{eqnarray*} f_1,f_2,f_3:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f_1(x) = \begin{cases}\varphi(x)\quad x\neq 0\\ 0 \quad \ \quad x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(x) = -f_1(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_3(x) = \begin{cases}-\varphi(x)\quad x< 0\\ 0 \quad \ \quad x=0 \\ \varphi(x)\quad x>0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1,f_2,f_3 \end{eqnarray*}$ sind alle beliebig oft differenzierbar und alle Ableitungen im Punkte $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ verschwnden. Insbesondere kann man also nicht entscheiden, welche der Funktionen man gerade vor sich hat, wenn man nur deren Verhalten im Nullpunkt kennt. Aber $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ hat dort ein lokales Minimum, $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ ein lokales Maximum und $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ einen Sattelpunkt.

30.07.2015, 11:50

Ehos

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@Gruppi
Du schreibst, dass ein Sattelpunkt auch dann vorliegt, wenn (mindestens) ein Eigenwert der Hessematrix verschwindet und die anderen nicht einheitliche Vorzeichen haben. Meiner Meinung nach ist dies eine Definitionsfrage.

Beispiel:
Betrachte z.B. die Mantelfläche eines unendlich langen Zylinders mit dem Radius R, dessen Symmetrieachse die x-Achse ist. Diese Mantelfläche kann man (oberhalb der xy-Ebene) als folgende Funktion beschreiben:

$\begin{eqnarray*} z(x,y)=\sqrt{R^2-y²} \end{eqnarray*}$

Gemäß deiner Definition wären alle diejenigen Punkte Sattelpunkte, welche auf der Geraden z=R, y=0 liegen. Nach meiner Definition wären dies keine Sattelpunkte. Das kann man so oder so definieren.

30.07.2015, 14:33

Guppi12

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Hallo Ehos,

Ein Sattelpunkt ist ein kritischer Punkt, der weder lokales Minimum, noch lokales Maximum ist, die Kriterien sind nur dafür da, diese aufzufinden, Sattelpunkte sind ja nicht durch diese Kriterien definiert. Zunächst zu deinem Beispiel:

Zitat:

Gemäß deiner Definition wären alle diejenigen Punkte Sattelpunkte, welche auf der Geraden z=R, y=0 liegen.

Das ist nicht richtig. Die Hessematrix sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} H_z(x,y) = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & -\frac{R^2}{(R^2-y^2)^{\frac{3}{2}}}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Die Eigenwerte in den Punkten mit $\begin{eqnarray*} y=R \end{eqnarray*}$ kann man direkt ablesen, einer ist $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , der andere ist negativ.
Somit sind wir in dem Fall, wo das Kriterium nach meinem Post oben keine Aussage liefert. Deines tut hier das gleiche, somit sagen beide Kriterien in diesem Fall das selbe aus. Tatsächlich liegen natürlich in all diesen Punkten lokale Maxima vor.

Sieh dir aber nun anders herum die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3\to\mathbb R,(x,y,z)\mapsto x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ an. Ihre Hessematrix sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} H_f(x,y,z) = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Man kann wieder sofort die Eigenwerte ablesen. Nach meinem Kriterium liegt ein Sattelpunkt im Nullpunkt vor, was richtig ist. Nach deinem gibt es wieder keine Aussage. Keine Aussage ist natürlich keine falsche Aussage, das Kriterium gibt in diesem Fall aber eben mehr her.

Das 'nicht richtig' in meinem ersten Post war also evt. etwas deplaziert. Ich meinte damit, dass das Kriterium mehr hergibt, als du geschrieben hast smile

31.07.2015, 08:57

Ehos

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@Gruppi12
Danke für die Information. Dein Kriterium für einen Sattelpunkt ist in der Tat richtig.

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