Taylorreihe mit Sinus (Kleinwinkelnäherung) - max zulässiger Fehler vorgegeben

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gg86 Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe mit Sinus (Kleinwinkelnäherung) - max zulässiger Fehler vorgegeben
Meine Frage:
Hallo zusammen! Folgende Aufgabe bereitet mir seit zwei Tagen nur Kopfschmerzen:

Bekanntlich kann man für kleine Winkel statt dem Sinus direkt den Winkel übernehmen. Ich soll nun ausrechnen, bis zu welchem Winkel ich x für sin(x) nutzen kann solange der Fehler kleiner 1% ist.



Meine Ideen:
Taylorreihe für den Sinus lautet:



Grundsätzliche Frage an dieser Stelle: Ist das Restglied nach x nun x^3 oder x^2? Nach Lagrange müsste es ja n+1, also 2 sein. Dieses Polynom tauch in der Reihe aber nicht auf. Also das nächste existierende Polynom, sprich x^3?

Mein Fehler darf maximal 1%, also 0,01 betragen. Ich suche suche nun also die Stelle Xi, an der mein Restglied kleiner-gleich 0,01 ist. Dazu habe ich folgendes aufgestellt:



Damit komme ich aber nicht weiter. Für Xi kann ich ja vorab nichts vorgeben, da ich diese stelle ja suche! Unser Dozent hatte schlussendlich folgende Formel an der Wand stehen:




Das Ergebnis scheint richtig zu sein, aber ich werde aus dem vorgehenden Kram einfach nicht schlau. unglücklich
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe mit Sinus (Kleinwinkelnäherung) - max zulässiger Fehler vorgegeben
Die Taylorreihe ist falsch, da die alternierenden Vorzeichen nicht beachtet wurden.

Abgesehen davon hoffe ich den Kern zu treffen mit folgender Überlegung:


Also ist

Damit kannst Du jetzt in die Formel des Dozenten reingehen.
gg86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Reihe war falsch -kleiner Tippfehler, aber darum gings ja auch nicht wirklich. Augenzwinkern

So, ich glaube ich weiß jetzt wie der gute Herr das ganze ausgerechnet hat, denn sein Ergebnis von



...ist so nicht ganz korrekt. Wolfram Alpha hat das für mich mal nummerisch gelöst und folgendes ausgespurck:



Mein erster Ansatz war nun den Sinus durch die Taylorreihe 3. Ordnung zu ersetzen und siehe da...



Da die Taylorreihe 3. Ordnung an dieser Stelle nicht ganz der Wahrheit enspricht, habe ich das ganze nochmal mit der 5. Ordnung gemacht. Man bekommt zwar 4 Ergebnisse, aber das kleinste positive Ergebnis ist dann: 0.24531!



@klauss: Danke für deine Antwort, doch weiß ich nicht was du damit genau vor hast... unglücklich
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gg86


Da die Taylorreihe 3. Ordnung an dieser Stelle nicht ganz der Wahrheit enspricht, habe ich das ganze nochmal mit der 5. Ordnung gemacht. Man bekommt zwar 4 Ergebnisse, aber das kleinste positive Ergebnis ist dann: 0.24531!

Der Gewinn an Intervallgröße haut einen ja geradezu vom Hocker. Big Laugh

Im Ernst, ich denke mal, es war die "einfache" Variante hier gemeint.

Es ging ja sicher nie um eine exakte Lösung der Ungleichung , sondern nur darum, ein hinreichend großes Intervall anzugeben, wo diese Ungleichung gilt.
gg86 Auf diesen Beitrag antworten »

Der springende Punkt (für mich) ist, dass x hier nicht mit dem Rest der Reihe berechnet wurde! Das habe ich aber nun viel zu lange versucht und bis jetzt nicht hinbekommen. Wer also eine Idee diesbezüglich hat, kann sich ja mal melden... Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab keine Ahnung, worauf du hinaus willst. Aber vielleicht weiß ja klauss, was du meinst. Augenzwinkern
 
 
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Die ursprüngliche Frage war doch, bis zu welchem Winkel man den Sinus durch den Winkel selbst ersetzen kann, wenn der Fehler kleiner als 1 % sein soll.
Berechnen wir nun meinethalben , dann ist Deine Gleichung aber nicht korrekt, denn , aber mit dem Restglied als Absolutfehler.
Da wir nicht kennen, machen wir die Abschätzung, die dann zur Lösung des Dozenten führt.

Dass man den Sinus beliebig genau mit einem höheren Taylorpolynom annähern kann, ist klar, aber das will man bei der linearen Näherung ja gerade vermeiden. Also kostet die Vereinfachung dann eben Abstriche bei der Winkelgröße.
gg86 Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher, dass die Taylorreihe vom Sinus bis zum 5.Grad nahe 0 nicht exakt ist? Wenn ich den Rest des 5. Grades ausrechne und annehme, dass f(xi)=1 ist, bekommt man zwar einen Fehler, dieser ist aber irrsinnig klein (logisch) und f(xi) ist ja auch nur auf worstcase gelegt. Wenn man sich die Taylorreihenentwicklung mal anschaut sieht man schön, wie sie die Polynome Stück für Stück an den echten Sinus anlegt und immer nur am Ende leicht wegläuft.

Wenn ich mal ein Integral über den Bereich ziehe bekomme ich:



naja, kann jetzt ein Rechenfehler der Maschine sein, oder es gibt wirklich einen kleinen Fehler... Keine Ahnung. smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe jetzt nicht den ganzen Thread durchgelesen, aber zu deiner letzten Frage:

Ja, wenn es auch nur eine winzig kleine Umgebung des Nullpunktes gäbe, wo das Taylorpolynom 5. Grades exakt wäre, dann würde dieses Taylorpolynom bereits auf ganz mit dem Sinus übereinstimmen. Das folgt z.B. mittels des Identitätssatzes aus der Funktionentheorie (für diese Aussage ein ziemlich starkes Geschütz, es geht natürlich elementarer).

Da dies nicht der Fall ist, kann es also keine noch so winzige offene Menge geben, wo Taylorpolynom und Sinus übereinstimmen. Der Fehler mag klein sein, aber er ist da.
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