Isometrien, Spiegelung, Drehung

30.07.2015, 16:53

Malicious

Isometrien, Spiegelung, Drehung

Meine Frage:
Hallo,

ich beschäftige mich grade mit Isometrien, also konkret Spiegelung und Drehung.

Dabei habe ich ganz konkrete Fragen.

Zum einen Habe ich folgende Aufgabe gelöst:

Es seien $\begin{eqnarray*} \phi_{1} , \phi_{2}: R^{2} \rightarrow R^{2} \end{eqnarray*}$ gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} \phi_{1}(x,y) = ( \frac{\sqrt 2}{2}x) , (\frac{\sqrt 2}{2}x + \frac{\sqrt 2}{2}y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_{2}(x,y) =(- \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt 3}{2}y + \frac{3}{2}), (\frac{\sqrt 3}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{\sqrt 3}{2}) \end{eqnarray*}$

Sind die folg. Abb. Isometrien, wenn ja welche (Spiegelung oder Drehung), dazu sollen dann Spiegelungsachse bzw. Drehwinkel und Drehzentrum bestimmt werden.

Meine Ideen:
Also ich hab jetzt raus, dass $\begin{eqnarray*} \phi_{1}(x,y) \end{eqnarray*}$ keine Isometrie ist, denn es muss ja gelten $\begin{eqnarray*} A * A^{T}= E \end{eqnarray*}$ also eine Orthogonalbasis.

d.h. A ist meinem Fall $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt 2}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt 2}{2} & \frac{\sqrt 2}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hier drauf angewendet ist $\begin{eqnarray*} A * A^{T} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also ungleich der Einheitsmatrix.

$\begin{eqnarray*} \phi_{2}(x,y) \end{eqnarray*}$ ist eine Isometrie, weil $\begin{eqnarray*} A * A^{T}= E^{2} \end{eqnarray*}$ .

Es handelt sich dabei um eine Spiegelung, das hab ich herausgefunden, indem ich $\begin{eqnarray*} det(A) \end{eqnarray*}$ berechne und $\begin{eqnarray*} det(A) = -1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt 3}{2} \\ \frac{\sqrt 3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist die Spiegelungsmatrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos (120^{°})& sin (120^{°}) \\ sin (120^{°}) & -cos (120^{°}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So nun zur Spiegelungsachse, die in meinem Fall eine Spiegelungsgrade ist. Und die gar nicht so einfach zu erhalten war...

Ich habe dafür die Eigenwerte von A berechnet also $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}= 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2}= - 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich noch nicht verstanden, ich muss einen konkreten Eigenwert nehmen, der mir etwas bestimmtes erfüllt, unzwar $\begin{eqnarray*} \phi(x) = x \end{eqnarray*}$ , das hat also was mit Fixpunkten zu tun, aber ich verstehe nicht, was bedeutet das nun in meinem Fall? Weil mein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ hat doch x und y ? das hab ich noch nicht gecheckt?

Nun dann, ein Eigenvektor zum Eigenwert + 1.

Da der Rang 1 ist nach dem Gauß-Alog. Habe ich einen freien Parameter, den nenne ich $\begin{eqnarray*} t \in R \end{eqnarray*}$

Dann wäre meine Spiegelungsgerade $\begin{eqnarray*} g = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} t (\frac{1}{3}, \frac{\sqrt 3}{2}) | t \in R \end{eqnarray*}$ }

Die letzte Frage wäre, wenn ich nun erhalten würde, dass meine Isometrie eine Drehung ist, gibt's da auch ne Methode, wie ich dann Drehzentrum und Drehwinkel mir errechnen kann ?
Also läuft dass dann auch über EW und Eigenvektoren oder gibt's da vielleicht ein anderes cooles verfahren?

Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen :-)

30.07.2015, 17:58

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

also eine Orthogonalbasis.

Der Rest ist alles richtig, dieser Nebensatz ist überflüssig (und falsch): Es ist nirgends von einer Basis die Rede.

Zitat:

Weil mein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ hat doch x und y ?

- Eine Abbildung "hat" kein x oder y. Vermutlich meinst du phi ist eine Abbildung in zwei Variablen.
- Namen sind Schall und Rauch. Ob diese Variablen x und y, a und b, klaus und dieter nennst ist wurscht; es ändert nichts.
- Es ist x ein Fixpunkt von phi falls $\begin{eqnarray*} \phi (x)=x \end{eqnarray*}$ . Dazu muss x insb. imDefinitionsbereich von phi liegen, also $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Deine später verwendeten x,y sind komplett verschiedene Objekte, insbesondere ist dieses x eine reelle Zahl.
Lehre der Geschichte: Unterschiedliche Objekte sollten unterschiedlich benannt werden.
Oder noch besser: Quantoren dazu schreiben, dann sind die Formeln nachvollziehbar und nicht (möglicherweise irreführend) verkürzt.

Zitat:

Da der Rang 1 ist nach dem Gauß-Alog.

Der Rang von was?
Wenn du drauf raus willst, dass Eigenvektoren existieren: Das tun sie immer. (Und auch dass der Eigenraum eindimensional ist folgt direkt aus den alg. Vielfachheiten)

Zitat:

Dann wäre meine Spiegelungsgerade $\begin{eqnarray*} g = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} t (\frac{1}{3}, \frac{\sqrt 3}{2}) | t \in R \end{eqnarray*}$ }

ich komm auf $\begin{eqnarray*} g = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} t (1,3\sqrt{3}) | t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ }.

Allerdings ignorierst du die komplette Aufgabeeines: Die Translation, es ist:
$\begin{eqnarray*} \phi (x)=Ax +\tau_P \end{eqnarray*}$

Zitat:

eine Drehung ist, gibt's da auch ne Methode, wie ich dann Drehzentrum und Drehwinkel mir errechnen kann ?

Den Winkel direkt an der Matrix ablesen, das Zentrum an Translation.
das selbe könntest du hier auch machen (ich finde die Vorgehnsweise allerdings als unschön).
Die Translation liefert dir einen Punkt auf der Gerade, die Matrix den Winkel der Gerade mit der Ursprungsachse, damit kann man die Gerade aufstellen.

30.07.2015, 18:39

Malicious

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Hallo Captain,

danke für deine Rückmeldung.

Zu (1) ok, den Nebensatz lass ich weg.

Zu (2) ja, das stimmt das sind nicht die gleichen Variablen -.- aber ich hab immer noch nicht verstanden, warum ich den EW +1 nehme? Was setze ich denn jetzt konkret wo rein?

Zu (3) ja damit ist ja der Rang der Matrix gemeint $\begin{eqnarray*} |A - \lambda \vec{x}| = \vec{0} \end{eqnarray*}$ also löse das LGS... ja genau

Zu(4) da hab ich mich vertippt, nichts desto trotz, gibt es nicht den Eigenvektor, sondern ich bestimme einen, es gibt viele, mein Korrekter wäre $\begin{eqnarray*} g = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} t (\frac{1}{3}, \sqrt 3)| t \in R \end{eqnarray*}$ }

Der Begriff Translation sagt mit grade gar nichts, naja ich weder das Googlen oder so...

Oder vielleicht kannst du das noch mal näher erläutern, das hört sich interessant an, ich mag auch lieber Schöne Lösungswege :-)

30.07.2015, 18:50

Captain Kirk

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(2) Was bedeutet es denn, dass einn Vektor Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist?
Und was hat das mit Fixpunkten zu tun?

Zitat:

nichts desto trotz, gibt es nicht den Eigenvektor, sondern ich bestimme einen, es gibt viele,

So oft ich diesen Satz auch selber gebrauche(n muss), ich weiß nicht was du mir hier damit sagen willst.
Ich sprach hier nirgends von "dem" Eigenvektor,und was du anschließend angibst ist auch kein Eigenvektor sondern eine Gerade, die mit meiner übereinstimmt; nur dass ich keine Brüche brauche.

Translation=Verschiebung, einer der essentiellen Grunbegriffe der (affinen) Geometrie die hier gerade macht.
Nachschalgen wär also gut.

30.07.2015, 19:05

Malicious

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Hallo Captain,

Na toll, meine Frage ist deine Frage :-)

Hahaha ok ich wollte dir nicht "den Satz" klauen... Richtig eine Gerade, wo mein berechneter Eigenvektor drin steckt ;-)

Ok ich werde mal über diese beiden offen gebliebenen Sachen weiter nachdenken, ich möchte das gerne schnell verstehen, also setze ich mich gleich dran...

Bis gleich/ später...

30.07.2015, 21:36

Malicious

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Hallo Captain,

zunächst noch mal eine gute Korrektur zu meiner Aussage vorhin am Anfang "Orthogonalbasis", ich wollte eigentlich sagen, dass A orthogonal ist. Mehr nicht. Ich muss mich natürlich korrekt ausdrücken. Ich passe nun besser auf...

ok nun zu den beiden offenen Sachen...

EW:= Eigenwerte
EV := Eigenvektoren

(1) Was ich vertstanden habe ist folgendes, wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eine Isometrie ist kommen als EW nur - 1 und + 1 in Frage.

EV zum EW + 1 sind Fixpunkte in der Abbildungsgeometrie, d.h.
Sei $\begin{eqnarray*} \vec{x} \neq \vec{0} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ offensichtlich ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ ein EV zum EW +1 ist. Wenn die Abb.Matrix den EW 1 hat, so gibt es unedlich viele Fixpunkte nämlich den Eigenraum zum EW + 1.

Ich hoffe ich hab mich korrekt ausgedrückt.

(2) Drehung: ich habe es nicht wirklich verstanden mit der Translation Tränen

OK, ich kann ja vorab den anderen Weg gehen, der ja so ähnlich ist wei bei der Spiegelung, wenn man die Spielungachse sucht...

Nehmen wir an ich hab schon eine Drehmatrix A ermittelt, $\begin{eqnarray*} det(A) = +1 \end{eqnarray*}$

Als nächstes bestimme ich die Drehachse: die kann ich ermitteln, indem ich einen EV $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ zum EW + 1 bestimme ( kurze Frage, an dieser Stelle, heißt das, dass eine Drehachse auch wieder eine Gerade sein kann, wie bei der Spiegelung?)

Dann kann ich den Drehwinkel dazu bestimmen, ich suche mir also einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ soll orthogonal zu $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ also Skalarprodukt gleich 0

Dann wende ich $\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ auf A an also $\begin{eqnarray*} \vec{y} = A*\vec{z} \end{eqnarray*}$

Zum Schluss: $\begin{eqnarray*} cos (\varphi) = \frac{|\vec{y}*\vec{z}|}{|\vec{y}|*|\vec{z}|} \end{eqnarray*}$

Ja, das ist was ich jetzt verstanden habe...

30.07.2015, 22:05

Captain Kirk

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(1) ist korrekt.
(2)

Zitat:

ich habe es nicht wirklich verstanden mit der Translation Tränen

Ich reagiere ziemlich negativ auf solche mitleidheischende Beiträge.
Mal davon abgesehen davon, dass in meinen Augen der Satz keinerlei Sinn macht: Translation ist ein Begriff, den es erstmal nachzuschlagen gilt, da gibt es nichts zu verstehen.
Oder verstehst du irgendwas anderes nicht, dann sei bitte konkreter.

Zitat:

Drehachse

Wieso? Was soll das sein? Ich kenn Dreh-/Spiegelungsachsen nur im drei-dimensionalen. Wir sind hier im zwei-dimensionalen.

Zitat:

( kurze Frage, an dieser Stelle, heißt das, dass eine Drehachse auch wieder eine Gerade sein kann, wie bei der Spiegelung?)

Mal abgesehen von meinen oberen Einwürfen: Was ist für dich eine Achse? Ich versteh darunter eine Gerade.

Und zum Rest: Der Drehwinkel einer Drehung lässt sich direkt (d.h. ohne Rechnung) aus der darstellenden Matrix der Abb., der sog. Drehmatrix ablesen(!). Keine Rechnung notwendig (evtl. ein arcuscosinus bei schrägen Werten)

30.07.2015, 22:32

Malicious

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Also Translation ist eine Verschiebung, ich habe aber nicht verstanden, wie der Zusammenhang zu der Drehung besteht, ich kann es mir bildlich nicht vorstellen und analytisch auch nicht -.-

Ja ich hatte mir unter Achse auch eine Gerade vorgestellt, desHalb wollte ich nochmal Fragen zur Sicherheit, ich dachte es war nur in meinem Beispiel so mit der Spiegelunachse...

Also die Aufgabe, die ich vorliegen hatte, war wirklich so zu schauen ob die Isometrien Spiegelung oder Drehung sind und das im $\begin{eqnarray*} R^{2} \end{eqnarray*}$ , also so wie die Augabenstellung am Anfang war...

Deswegen irritiert mich jetzt die Aussage, dass du dreh- und Spiegelungsachse nur im dreidimensionalen kennst -.-

30.07.2015, 22:50

Captain Kirk

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Zitat:

ich habe aber nicht verstanden, wie der Zusammenhang zu der Drehung besteht,

Es gibt keinen, keine Ahnung wo du den siehst oder rausliest.
Die Abbildung ist die Summe einer Drehung und einer Verschiebung, wie ich bereits schrieb.

Zitat:

Also die Aufgabe, die ich vorliegen hatte, war wirklich so zu schauen ob die Isometrien Spiegelung oder Drehung sind und das im $\begin{eqnarray*} R^{2} \end{eqnarray*}$ , also so wie die Augabenstellung am Anfang war...

Bitte lies dir deine Aufgabenstellung nochmal genauer durch, da steht nichts von Drehachsen.

Zitat:

Deswegen irritiert mich jetzt die Aussage, dass du dreh- und Spiegelungsachse nur im dreidimensionalen kennst -.-

Das Spiegelungsachse gehört da auch nicht rein, keine Ahnung wie es da reingerutscht ist. Sorry.
(wir hatten hier im Thread ja auch bereits eine)
Der Punkt bzgl. der Drehachsen bleibt bestehen, die sehe ich keinerlei Sinn im zwei-dimensionalen.
Du kannst mich gern vom Gegenteil überzeugen.

30.07.2015, 23:09

Malicious

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Oh ja fuck, ich hab jetzt Drehzentrum mit Drehachse einfach verwechselt, sowas doofes, zu viele neue Begriffe -.-

Ok, dann scheint das mit "Spiegelungsachse" ein Fehler zu sein und der Aufgabensteller hat."Spiegelungsgerade" gemeint... Kann ja passieren... Danke

Zur Translation, ich habe versucht, diese Aussage von dir zu verstehen "Die Translation liefert dir einen Punkt auf der Gerade, die Matrix den Winkel der Gerade mit der Ursprungsachse, damit kann man die Gerade aufstellen."

Ich kann mit darunter nix vorstellen, ok Translation hat nix mit der Drehung direkt zu tun... Du hast den Begriff aber eingebracht als es darum ging bei einer Drehung den Drehwinkel und das Drehzentrum zu bestimmen... Deswegen bin ich auch so verwirrt..

Aber ich möchte dich auch nicht weiter damit nerven, dass ich den Drehwinkel von der Drehmatrix direkt ablesen kann hab ich jetzt auch verstanden...

Danke

30.07.2015, 23:20

Captain Kirk

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Zitat:

Du hast den Begriff aber eingebracht als es darum ging bei einer Drehung den Drehwinkel und das Drehzentrum zu bestimme-

Das Drehzentrum lässt sich direkt an der Translation ablesen.
Nichts anderes sagt man Satz oben.
Ich versteh unter Drehung eigentlich auch nur Drehung um den Nullpunkt,sprich: lineare Abbildungen mit Drehmatrix als darstellender Matrix. In dem Kontext habe ich die Aussage geschrieben, das ist in eurem Kontext wohl zumindest missverständlich, ihr versteht darunter: affine Abbildung mit Drehmatrix als darstellender Matrix.

Zitat:

Aber ich möchte dich auch nicht weiter damit nerven,

Wenn du nerven würdest,würdeich schlicht nicht mehr antworten.
Sinnvolle Nachfragen, wie deine, ist fürmich so ziemlich das exakte gegenteil von nervig.
Nervig finde ich hier ganz anderes Verhalten (z.B. nach Musterlösung nörgeln und/oder kommentarlos verschwinden)

30.07.2015, 23:39

Malicious

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Hallo Captain,

achsoo "Das Drehzentrum lässt sich direkt an der Translation ablesen" und das Ergebnis davon ist eine Gerade.. Ok gut, dann hab ich das jetzt auch verstanden :-)

Ok das freut mich :-)

Danke und gute Nacht!

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