Komplexe Zahlen mit hoher Potenz

31.07.2015, 10:48

ChrizZly

Komplexe Zahlen mit hoher Potenz

Meine Frage:
Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Sei $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ gegeben als: $\begin{eqnarray*} z=\frac{(1+i)^{10}}{(1-i)^{11}} \end{eqnarray*}$

Bestimmen sie z in der Form $\begin{eqnarray*} z=x+iy ; x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und geben sie Betrag und Argument von z in $\begin{eqnarray*} ( -\pi/\pi] \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein erster Gedanke wäre es die Klammer aufzulösen,so dass ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{32i}{-32-32i} \end{eqnarray*}$ habe. Jedoch beim Umwandeln in die Polarform hätte ich schon ein Problem. Da das Argument von $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ (der Zähler) ja arctan(y/x) ist und x ja 0 ist in diesem Fall, da ich ja praktisch 0+i*32 da stehen habe.
Also scheint der Ansatz falsch zu sein.

Nun erinnere ich mich grob an einen ansatz mit dem man die Potenz mit in die Polarform übernehmen konnte. Jedoch finde ich diese nicht irgendwie nicht wieder.
War es: (mit den Beispiel vom Zähler) $\begin{eqnarray*} |z_1|*(cos(\phi +10)+i*sin(\phi +10)) \end{eqnarray*}$ ? Dann wäre der Betrag ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Vorraus

-ChrizZly

31.07.2015, 10:53

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen mit hoher Potenz

Zitat:

Original von ChrizZly
Da das Argument von $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ (der Zähler) ja arctan(y/x) ist und x ja 0 ist in diesem Fall, da ich ja praktisch 0+i*32 da stehen habe.
Also scheint der Ansatz falsch zu sein.

Nein, der ist schon in Ordnung.

Stell Dir mal die komplexe Ebene vor. Nach rechts die positiven reellen Zahlen, nach oben die positiven imaginären, nach links die negativen reellen Zahlen, nach unten die negativen imaginären.

Na, was hat also 32i für einen Winkel?

Viele Grüße
Steffen

31.07.2015, 11:28

ChrizZly

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RE: Komplexe Zahlen mit hoher Potenz
Ach so. Ja. Es wäre 90°
Aber mathematisch wäre dieser Ansatz ja jetzt falsch oder?

31.07.2015, 11:39

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen mit hoher Potenz
Nein, auch mathematisch macht man das so, und zwar mit einer Fallunterscheidung. Es ist nämlich so, dass der arctan bei negativem x auch versagt, weil er ja nur Werte zwischen -90° und +90° liefert, die betreffenden Winkel hier aber "gegenüber" liegen. Daher muss in diesem Fall 180° addiert werden. Siehe zum Beispiel unser Workshop: [WS] Komplexe Zahlen oder auch Tante Wiki.

31.07.2015, 14:06

ChrizZly

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RE: Komplexe Zahlen mit hoher Potenz
Als ich die Formeln auf Wikipedia gesehen habe ging mir wieder ein Lichtlein auf..
Weiterhin rechnete ich:
$\begin{eqnarray*} z_1=32*e^{i\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ (da x=0 und y > 0 und |z_1|=32)
$\begin{eqnarray*} z_2=32\sqrt{2}*e^{i\frac{3\pi}{4}} \end{eqnarray*}$ (da arctan(-32/-32)-pi = -3pi/4)
$\begin{eqnarray*} z=\frac{z_1}{z_2}=\frac{32*e^{i\frac{\pi}{2}}}{32\sqrt{2}*e^{i\frac{3\pi}{4}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}*e^{\frac{5\pi}{4}} \end{eqnarray*}$
Nun in die Form x+iy bringen:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{\sqrt{2}}sin(\frac{5\pi}{4})=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{\sqrt{2}}cos(\frac{5\pi}{4})=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=-\frac{1}{2}-i\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} arg(z)=\frac{5\pi}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |z|=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

somit ist die Aufgabe gelöst. Alles Richtig so?

31.07.2015, 14:15

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen mit hoher Potenz
Ja, bis auf die Kleinigkeit, dass der Winkel zwischen -pi und +pi liegen soll. Aber das dürfte ja nicht allzuschwer sein.

31.07.2015, 16:24

ChrizZly

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RE: Komplexe Zahlen mit hoher Potenz
Wäre es nicht das gleiche, wenn ich 2pi abziehe?
Also: $\begin{eqnarray*} \frac{5\pi}{4} = \frac{-3\pi }{4} \end{eqnarray*}$

Dann wäre ich auch im Bereich. Oder?

31.07.2015, 16:25

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen mit hoher Potenz
Ja, genau so.

Viele Grüße
Steffen

31.07.2015, 16:55

ChrizZly

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RE: Komplexe Zahlen mit hoher Potenz
ok. Vielen Dank.

31.07.2015, 17:31

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen mit hoher Potenz
Keine Ursache.

Noch zu Deiner zweiten Frage, was das Potenzieren in der Polarform betrifft: dies würde meines Erachtens etwas leichter (und sogar im Kopf) gehen. Potenzieren mit einer Zahl bedeutet ja, das der Betrag damit potenziert und der Winkel damit multipliziert wird.

Nun hast Du oben und unten einen Betrag von $\begin{align*} \sqrt 2 \end{align*}$ , der oben hoch zehn, unten hoch elf genommen wird. Mit Kürzen bleibt also $\begin{align*} \frac 1 {\sqrt 2} \end{align*}$ als Betrag der Lösung.

Oben ist wiederum der Winkel 45°, unten -45°. (Ich bleib mal im Gradmaß, das ist leichter im Kopf.) Mit den entsprechenden Multiplikationen steht dann im Zähler 450°, im Nenner -495°. Beim Dividieren komplexer Zahlen subtrahieren sich die Winkel, die Lösung hat also den Winkel 450°+495°=945°. Dreimal 360° abgezogen, sind das -135°, wir sind also im dritten Quadranten.

Und mit etwas Übung kann man das auch ohne Sinus und Cosinus in die kartesische Form bringen: ein Quadrat mit Diagonale $\begin{align*} \frac 1 {\sqrt 2} \end{align*}$ hat 0,5 als Kantenlänge.

Viele Grüße
Steffen

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