Lipschitz-Stetigkeit Umformungsproblem

31.07.2015, 12:33	Gonka	Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz-Stetigkeit Umformungsproblem Meine Frage: Hi, bei meinem Problem geht es um einen Umformungsschritt, den ich nicht nachvollziehen kann. Er taucht bei einer Aufgabe zur Lipschitz-Stetigkeit auf. Problemstellung: $\begin{eqnarray} f(x) = \sqrt{2+3x} \end{eqnarray}$ auf D:=[0,3) gesucht: Lipschitz-Konstante Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \|f(x_{1})-f(x_{2})\| = \|\sqrt{2+3x_{1}} - \sqrt{2+3x_{2}}\| \end{eqnarray}$ Jetzt kommt laut Musterlösung der Umformungsschritt zu: = $\begin{eqnarray} \|\frac{3(x_{1}-x_{2})}{\sqrt{2+3x_{1}} + \sqrt{2+3x_{2} } } \| \end{eqnarray}$ Wäre nett, wenn mir das jemand erklären könnte. (Am besten, als ob ich 5 wäre ;D) Grüße
31.07.2015, 12:34	Grashalmfest	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es denn nicht offensichtlich, dass hier erweitert wurde, mein kleiner Engel?
31.07.2015, 12:47	Gonka	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm okay, also auf eine Erweiterung habe ich getippt Ich verstehe nur nicht, wie genau erweitert wurde, damit aus der Differenz der Wurzeln eine Summe wird und woher die 3 kommt Mir fehlt die Intuition für solche Umformungen
31.07.2015, 12:50	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was steht denn vorher im Nenner, was steht nachher im Nenner? Das sollte dir zeigen, womit erweitert worden ist. Generell ist eine Erweiterung dieser Art mittels der dritten binomischen Formel ein Trick, der häufig bei solchen Umformungen verwendet wird. Soll ein Term der Form $\begin{align} \sqrt{a}-\sqrt{b} \end{align}$ abgeschätzt werden, so erweitert man mit $\begin{align} \sqrt{a}+\sqrt{b} \end{align}$ und versucht damit weiter zu kommen.
31.07.2015, 12:54	Grashalmfest	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Intuition braucht man für solche Umformungen nicht. Es ist ein Standardtrick. Aber auch kein wirklicher Trick, weil es nun mal Standard ist. Es ist also ein Standard. Nun ja, wie kommt man trotzdem intuitiv darauf? Also wenn du dir den Ausdruck $\begin{eqnarray} \|\sqrt{2+3x_1}-\sqrt{2-3x_2}\| \end{eqnarray}$ anguckst, und dich fragst was dich am meisten stört, dann ist die intuitive Reaktion doch, dass die Wurzeln irgendwie störend sind. Die Frage ist also ganz einfach: Wie bekomme ich die Wurzeln weg? Die dritte binomische Formel lautet ja: $\begin{eqnarray} (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \end{eqnarray}$ Damit bekommen wir die Wurzeln weg, weil wir die entsprechenden Teile ja quadrieren. Deshalb funktioniert die erste und zweite auch nicht, was leider kein unüblicher Fehler ist, dass auf einmal $\begin{eqnarray} (a+b)^2=a^2+b^2 \end{eqnarray}$ ist. Und nun siehst du auch hoffentlich, wie hier erweitert wurde. Das sollte dir aber auch sonst klar sein, denn wie soll der Nenner sonst entstehen, wenn nicht gerade mit diesem erweitert wurde? Edit: Unfug entfernt. LG Iorek
31.07.2015, 13:04	Gonka	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, super! Danke euch zwei! Jetzt habe ich es hinbekommen... wirklich nicht so schwierig
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31.07.2015, 13:06	Grashalmfest	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist sehr schön. Der Rest sollte sich nun von alleine ergeben. Edit: Unfug entfernt. LG Iorek

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