Kugel Oberfläche gleich Volumen

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Kugel Auf diesen Beitrag antworten »
Kugel Oberfläche gleich Volumen
Meine Frage:
Hallo,

beim Bearbeiten einer Aufgabe, bin ich darauf gestoßen, dass die Oberfläche und das Volumen einer Kugel mit r=3 gleich groß ist.
Weiß jemand zu diesem Zusammenhang eine Erklärung oder eine Stelle wo man etwas dazu nachlesen kann?

Meine Ideen:
Hab schon ein paar Begriffe dazu gegooglte, bin aber noch nicht schlauer geworden
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugel Oberfläche gleich Volumen
Die Formeln für Kugelvolumen und -oberfläche stehen zum Beispiel hier.

Setz die beiden Formeln gleich und löse nach r auf.

Viele Grüße
Steffen
Kugel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugel Oberfläche gleich Volumen
Hallo Steffen,

die Formeln sind mir klar, sonst wäre ich da auch nicht drauf gekommen. Fand den Zusammenhang trotzdem erstaunlich und habe mich gefragt, ob es diesen Zusammenhang öfter gibt oder er einmalig ist. Ist ja schon erstaunlich, dass ich die gesamte Oberfläche in die Kugel stecken kann. Aber wahrscheinlich ist dieses philosophischer Natur
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugel Oberfläche gleich Volumen
Du kannst natürlich keine Oberfläche ins Volumen "stecken", eine Fläche hat immer das Volumen Null. Da bekommst Du die Kugel also nie voll, egal wieviel Oberfläche Du hineinsteckst.

Es geht vielmehr um die reinen Zahlenwerte. Eine Kugel vom Radius 3 Meter hat also sowohl eine Oberfläche von etwas mehr als 113 Quadratmeter als auch ein Volumen desselben Zahlenwertes in Kubikmetern.

Und hier kommen wir dann doch vielleicht ein wenig in die Philosphie: für einen Mathematiker ist das dasselbe, den seine "Ein-heit" ist eben immer die Eins. Er kennt keine weltlichen Meter, keine schnöden Sekunden, er kennt nur Zahlen. Und deswegen darf er auch Volumen und Fläche gleichsetzen. Augenzwinkern

Was mich viel mehr erstaunt, ist zum Beispiel, dass die Volumen von Kegel, Kugel und Zylinder gleicher Höhe und Radien im exakten Verhältnis 1:2:3 zueinander stehen. Sowas finde ich weitaus überraschender, wie ja auch Archimedes, der diese Körper angeblich deswegen auf sein Grabmal setzen ließ.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

und: die Ableitung des Kugelvolumens nach r ergibt die Oberfläche smile
Jayk Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zusammenhang hier ist nicht so erstaunlich, er basiert eher auf der Tatsache, daß pi ungefähr 3 ist...

Es gibt allerdings einen ähnlichen Zusammenhang: Wenn man Kugeln und ihre Oberflächen in immer höheren Dimensionen betrachtet, kann man immer mehr Volumen und Oberfläche identifizieren, fast das ganze Volumen ist immer weiter außen konzentriert. Diese Tatsache benutzt man in der statistischen Physik, wo eine Kugeloberfläche in der Dimension der Größenordnung (-> Avogadro-Zahl) die Fläche der Zustände konstanter Energie im Phasenraum ist (eigentlich ein Zylinder mit so einer Kugel als "Grundfläche": die Ortskomponenten sind beliebig, die Impulskomponenten genügen der Gleichung ) und man die Näherung macht, das ganze Volumen zu betrachten, weil es die Rechnung vereinfacht.
 
 
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Billiger und einsichtiger ist die schlichte Anmerkung . smile
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jayk
Der Zusammenhang hier ist nicht so erstaunlich, er basiert eher auf der Tatsache, daß pi ungefähr 3 ist...



Was meinst du damit? Die Anfangsfrage? Hoffentlich nicht.

Das Volumen ist , die Oberfläche . Der Quotient von beiden ist also
. Dieser Wert wird 1 für r=3.
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