Monotonie und Beschränktheit von Folgen

31.07.2015, 13:08

Metherial

Monotonie und Beschränktheit von Folgen

Meine Frage:
Hallo,
Ich soll folgende Aufgabe lösen:
(a)Untersuchen Sie die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = n^{2}2^{-n}, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
auf Monotonie und Beschränktheit anhand der Definitionen. Was lässt sich hieraus folgern?

Hinweis: Es darf angenommen werden, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 2^{-n} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Nach einer kurzen Recherche fand ich diesen Thread: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=554075 , welcher die selbe Aufgabe thematisiert.
Ich habe durch rumprobieren auch $\begin{eqnarray*} a_{1} \leq a_{2} \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} a_{4} \leq a_{3} \end{eqnarray*}$ herausgefunden. Daran ist auch bei mir die vollständige Induktion gescheitert. Wie würde ich es ohne rumprobieren, also rechnerisch herausfinden, dass die Monotnoie sich ändert und an welcher Stelle?

Anschließend sehe ich, dass als Tipp gegeben wurde es $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Ws äquivalent zu $\begin{eqnarray*} n^2>2n+1 \end{eqnarray*}$ sein soll. Wie kommt man darauf?

Zur Beschränktheit:
Wie würde ich diese Beweisen? Die obere Schranke habe ich ja durch rumprobieren herausgefunden (wäre bei $\begin{eqnarray*} a_3=\frac{9}{8} \end{eqnarray*}$ ) und die untere wäre ja als ein Produkt von 2 Positiven Folgen immer > 0. Dadie Folge Monoton fallend ist wird 0 die untere Schranke sein. Aber auch hier die Frage. Wie beweise ich es? Kann es nicht sein, dass das Infimum auch größer als Null ist?

-Matherial

31.07.2015, 14:52

klauss

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RE: Monotonie & Beschränktheit von folgen
Damit es hier weitergeht:

Zur Monotonie:
Wenn wir annehmen, die Folge sei monoton fallend, dann müßte gelten:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq a_{n} \end{eqnarray*}$
Prüfe das nach, indem Du hier das Bildungsgesetz einsetzt und so umformst, dass Du $\begin{eqnarray*} n_{min.} \end{eqnarray*}$ bestimmen kannst. Dann wird auch sichtbar, was es mit der genannten Äquivalenz auf sich hat.

Zur Beschränktheit:
Zur Beschränktheit nach unten wurde in dem anderen Thread schon Stellung genommen. Ob 0 dann auch der Grenzwert und damit Infimum ist, wäre eine andere Frage, die in der Aufgabe so bisher gar nicht gestellt wurde.
Wenn man wie gewünscht nach Definition vorgeht, genügt für Beschränktheit allgemein doch sicher der Nachweis irgendeiner oberen/unteren Grenze, es muß nicht die kleinste/größte sein.

31.07.2015, 16:09

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RE: Monotonie & Beschränktheit von folgen
Wenn die Folge als monoton fallend erkannt ist, bekommt man die kleinste obere Schranke (fast) geschenkt smile

31.07.2015, 16:21

Matherial

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RE: Monotonie & Beschränktheit von folgen

Zitat:

Wenn die Folge als monoton fallend erkannt ist, bekommt man die kleinste obere Schranke (fast) geschenkt smile

Stichwort: Grenzwert?

Zitat:

Wenn wir annehmen, die Folge sei monoton fallend, dann müßte gelten:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq a_{n} \end{eqnarray*}$
Prüfe das nach, indem Du hier das Bildungsgesetz einsetzt und so umformst, dass Du $\begin{eqnarray*} n_{min.} \end{eqnarray*}$ bestimmen kannst. Dann wird auch sichtbar, was es mit der genannten Äquivalenz auf sich hat.

Also habe ich erstmal das hier: $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\leq \frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$

Umgeformt zu: $\begin{eqnarray*} \frac{2^{n}(n+1)^2}{2} \leq n^2 \end{eqnarray*}$

Ich sehe jedoch immernoch nicht, wie ich auf $\begin{eqnarray*} n^2>2n+1 \end{eqnarray*}$ komme.

-Matherial

31.07.2015, 16:26

klauss

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RE: Monotonie & Beschränktheit von folgen
Die Umformung ist ja auch falsch. Was passiert denn mit den Zweierpotenzen?

31.07.2015, 16:50

Matherial

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RE: Monotonie & Beschränktheit von folgen
Stimmt. Ich hab auf beiden Seiten mit 2^n multipliziert.

Das wäre aber dann: $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^2}{2} \leq n^2 \end{eqnarray*}$

Trotzdem nicht das gleiche

-Matherial

31.07.2015, 16:55

klauss

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RE: Monotonie & Beschränktheit von folgen
Noch nicht. Die Umformung geht weiter: Binom ausmultiplizieren.

31.07.2015, 17:32

Matherial

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RE: Monotonie & Beschränktheit von folgen
Jetzt hab ichs auch.
Und wie kann ich jetzt genau die Monotonie beweisen? Kann ich jetzt sagen, dass 2n+1 ab n=3 immer kleiner ist als n^2?

31.07.2015, 17:43

klauss

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RE: Monotonie & Beschränktheit von folgen
Ja, und infolge der Äquivalenzumformungen läßt sich die Aussage auf $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq a_{n} \end{eqnarray*}$ übertragen.
Außerdem bleiben somit nicht sehr viele Folgenglieder übrig, in denen die obere Schranke angenommen werden kann.

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