GL(n,K) ist eine Lie-Gruppe

31.07.2015, 15:11	Luc	Auf diesen Beitrag antworten »
GL(n,K) ist eine Lie-Gruppe Meine Frage: Wie zeige ich, dass die Gruppe der invertierbaren nxn Matritzen GL(n,K) mit der Multiplikation eine Lie-Gruppe ist? Meine Ideen: Ich weiß, die Elemente von GL sind per Definition invertierbar und auch die Matrixmultiplikation ist definiert. Wie zeige ich, dass die Abbildung eines Elements auf sein Inverses differenzierbar ist? Analog, dass die Abbildung zweier Elemente auf ihr Produkt differenzierbar ist? Und wie zeige ich, dass GL eine Mannigfaltigkeit ist? Vielleicht, weil GL(n,K) homöomorph zu R^n^2 (R hoch n Quadrat) ist und R^n^2 eine Mannigfaltigkeit ist?
31.07.2015, 15:35	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, soll hier $\begin{eqnarray} K=\mathbb R \end{eqnarray}$ sein? Ich würde von vornherein $\begin{eqnarray} GL_n(\mathbb R) \end{eqnarray}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n^2} \end{eqnarray}$ auffassen. Dann ist man in vertrautem Terrain was Differenzierbarkeit etc. angeht. Nun ist jede offene Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n^2} \end{eqnarray}$ eine Untermannigfaltigkeit von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n^2} \end{eqnarray}$ . Du müsstest also zeigen, dass $\begin{eqnarray} GL_n(\mathbb R) \end{eqnarray}$ offen in $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n^2} \end{eqnarray}$ ist, dann hast du den Mannigfaltigkeitspunkt schonmal abgehakt. Nun gibt es aber in so einem Fall einen besonders einfachen Atlas, der nur aus der Identität besteht, daher sind die differenzierbaren Abbildungen dieser Mannigfaltigkeit genau die selben, wie wenn man sie als Abbildungen einer Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n^2} \end{eqnarray}$ in sich auffasst. Was ist denn die Matrizenmultiplikation aufgefasst als Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n^2}\times\mathbb R^{n^2}\to\mathbb R^{n^2} \end{eqnarray}$ ? Das ist eine Abbildung, die zu einer Klasse von Abbildungen gehört, deren Glattheit hinlänglich bekannt ist, du musst sie nur als solche identifizieren. Ähnliches geht beim Invertieren.
03.08.2015, 08:06	Luc	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort, jetzt habe ich es verstanden.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »