"Für alle x, für die gilt..." in mathematischer Schreibweise

31.07.2015, 15:37

ghetz

"Für alle x, für die gilt..." in mathematischer Schreibweise

Moin!

Ich stehe vor einer kleinen Herausforderung, und zwar würde ich gerne mit "Fachsymbolen" folgendes ausdrücken:

Für alle x, für die gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ , gilt: $\begin{eqnarray*} f''(x) < 0 \end{eqnarray*}$

und umgekehrt:

Für alle x, für die gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) < 0 \end{eqnarray*}$ , gilt: $\begin{eqnarray*} f''(x) > 0 \end{eqnarray*}$

Das muss ja irgendwie mit dem "umgedrehten A" funktionieren, aber wie ich das jetzt ausdrücken kann, weiß ich nicht. Bezieht sich übrigens auf die Sinusfunktion f(x) = sin(x) und ihre zweite Ableitung.

Vielen Dank schon einmal!

31.07.2015, 15:56

10001000Nick1

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Die erste Aussage z.B. so: $\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb{R}: f(x)>0\Rightarrow f''(x)<0 \end{eqnarray*}$

Oder auch so: $\begin{eqnarray*} \forall x\in\{x'\in\mathbb{R}\mid f(x')>0\}: f''(x)<0 \end{eqnarray*}$ (wobei ich da die erste Möglichkeit schöner finde).

Das ist aber alles nur eine andere Formulierung der Aussage $\begin{eqnarray*} \sin(x)>0\Leftrightarrow -\sin(x)<0 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

31.07.2015, 17:28

ghetz

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Okay, vielen Dank, das erste leuchtet mir wohl ein, wenn das so möglich ist, ich hätte jetzt aber eher gedacht, dass $\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb{R}: f(x)>0\Rightarrow f''(x)<0 \end{eqnarray*}$ eher bedeutet: Für alle x (x ist Element aus den reellen Zahlen)gilt: f(x) > 0 usw., aber das ist ja eher eine Bedingung, dass das alle x, die eingesetzt in f(x) einen Funktionswert größer als 0 ergeben, dazu führen, dass f''(x) < 0 ist.
Da finde ich die zweite Möglichkeit ein wenig sinnvoller, wobei ich dazu noch fragen möchte, was der Strich bei dem x' bedeutet. Und geschweifte Klammern bedeuten in diesem Fall, dass es sich um eine Menge handelt, oder? Sorry, bin noch nicht so fit in diesem Bereich, komm jetzt erst in die 11. Klasse. Big Laugh

Aber möcht halt schon mal ein bisschen für den LK lernen. Big Laugh

Aber schon einmal vielen Dank bis hierhin smile

31.07.2015, 17:46

Nofeys

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Zitat:

ich hätte jetzt aber eher gedacht, dass $\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb{R}: f(x)>0\Rightarrow f''(x)<0 \end{eqnarray*}$ eher bedeutet: Für alle x (x ist Element aus den reellen Zahlen)gilt: f(x) > 0 usw.

Wenn man pingelig ist, fehlt da auch ein Klammerpaar, so ist die Aussage eigentlich eine andere.

31.07.2015, 17:47

10001000Nick1

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Zitat:

Original von ghetz
ich hätte jetzt aber eher gedacht, dass $\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb{R}: f(x)>0\Rightarrow f''(x)<0 \end{eqnarray*}$ eher bedeutet: Für alle x (x ist Element aus den reellen Zahlen)gilt: f(x) > 0 usw.,

Damit dieses Missverständnis nicht auftreten kann, sollte man vielleicht schreiben: $\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb{R}: \left(f(x)>0\Rightarrow f''(x)<0\right) \end{eqnarray*}$ . Damit ist es eindeutig. (In Worten: "Für alle reellen Zahlen x gilt: Wenn f(x)>0 ist, dann ist f''(x)<0.")

Zitat:

Original von ghetz
Da finde ich die zweite Möglichkeit ein wenig sinnvoller

Naja, beide Möglichkeiten bedeuten exakt das selbe, da würde ich nicht von "sinnvoller oder weniger sinnvoll" sprechen; man könnte sich höchstens darüber streiten, was schöner aussieht (aber das ist sicherlich Geschmackssache). Augenzwinkern

Zitat:

Original von ghetz
wobei ich dazu noch fragen möchte, was der Strich bei dem x' bedeutet. Und geschweifte Klammern bedeuten in diesem Fall, dass es sich um eine Menge handelt, oder?

Ja, $\begin{eqnarray*} \{x'\in\mathbb{R}\mid f(x')>0\} \end{eqnarray*}$ ist eine Menge, nämlich die Menge aller reellen Zahlen, für die der Funktionswert positiv ist. Der Strich bei der Variable $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ hat keine Bedeutung (ist also keine Ableitung o.Ä.). Ich wollte in der Definition der Menge nicht auch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ schreiben, hätte stattdessen aber auch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ oder irgendwas anderes nehmen können. $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ ist also bloß der Name der Variable.

Zitat:

Original von ghetz
Sorry, bin noch nicht so fit in diesem Bereich, komm jetzt erst in die 11. Klasse. Big Laugh

Aber möcht halt schon mal ein bisschen für den LK lernen. Big Laugh

Kein Problem, so haben wir alle mal angefangen. Viel Spaß und Erfolg dabei. Wink

31.07.2015, 18:04

ghetz

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Zitat:

Könnte ich denn aber auch einfach x benutzen? Denn es ist ja eigentlich genau das x gemeint, welches in die Funktion eingesetzt wird und von dem die Rede ist Big Laugh

Zitat:

Kein Problem, so haben wir alle mal angefangen. Viel Spaß und Erfolg dabei. Wink

Vielen lieben Dank smile

31.07.2015, 18:13

10001000Nick1

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Ich schreibe ungern so etwas wie $\begin{eqnarray*} x\in\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)>0\} \end{eqnarray*}$ . Denn es könnte ja auch so etwas gemeint sein wie $\begin{eqnarray*} x\in\{x'\in\mathbb{R}\mid f(x)>0\} \end{eqnarray*}$ (naja, ob das hier so viel Sinn macht, sei mal dahingestellt...). Aber theoretisch wäre so etwas möglich.
Der Variablenname $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist außerhalb der Menge schon vergeben, deswegen benutze ich dann in der Menge einen neuen Namen, wenn ich eine neue Variable meine. Das gewöhnst du dir am besten auch so an, sonst kannst du da ganz schnell mal durcheinanderkommen. smile

31.07.2015, 19:23

Dopap

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wenn es komplizierter wird, ist so was übersichtlicher:

$\begin{eqnarray*} \mathop{\bigvee}\limits_{ x \in M}\,\mathop{\bigwedge}\limits_{ y \in N}A(x,y) \end{eqnarray*}$

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