Definitionen Riemannintegrierbar

31.07.2015, 16:06	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitionen Riemannintegrierbar Ich stecke fest bei den ganzen Definitionen von Riemann-integrierbar und kenne mich nicht mehr aus.. Definition von Riemann-integrierbar im Heuser: Die Funktion $\begin{eqnarray} f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ heißt Riemann-integrierbar (kurz: R-integrierbar) auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ , wenn jede ihrer Riemannfolgen $\begin{eqnarray} (S(Z_j, \psi_j)) \end{eqnarray}$ gegen ein - und damit gegen ein und denselben - Grenzwert konvergiert... In meinen Unterlagen habe ich die Definition: Die Funkt. $\begin{eqnarray} f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist integrierbar (im Sinn von Riemann) wenn für jede Folge von Unterteilungen $\begin{eqnarray} U^j \end{eqnarray}$ und jede Folg von Zwischenpunkten $\begin{eqnarray} \psi^j \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} U^j \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|U^j\| \rightarrow 0 (j \rightarrow \infty) \end{eqnarray}$ die Folge der Riemannsummen $\begin{eqnarray} R(f,U^j, \psi^j) \end{eqnarray}$ konvergiert. Nun meine Frage: Was ihr oben lest ist immer die grundlegende Definition, mit der das kapitel Riemann-Integrale beginnt. Bedeuten die zwei obigen Definitionen das selbe oder sind sie zwei verschiedene Definitionen deren Gleichheit man erst zeigen muss? Ich glaube sie bedeuten genau dasselbe denn beim heuser definiert man doch auch eine Riemannfolge durch eine Folge Riemannscher Summen, die zu eine ZerlegungsNULLfolge gehört, nur ist es da in der Definition nicht noch extra beschrieben. Was ist der Unterschied dann zu der Charakterisierung der R-Integrierbarkeit durch den Satz: (die beim heuser und in meinen Skript erst paar Seiten später kam): $\begin{eqnarray} f \in R[a,b] \iff \forall \epsilon>0 \exists \delta >0 \end{eqnarray}$ s.d. für jede Zerlegung $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|Z\|<\delta \Rightarrow \|S(f,Z,\psi)-S\|<\epsilon \end{eqnarray}$ Nochmal zum Verständnis, mir ist die Äquivalenz all dieser Charakterisierungen von Riemann-Intgrierbarkeit bewusst aber nicht was sie voneinander unterscheidet wenn ich bezüglich der jeweiligen Definition/Charakterisierung Riemann-integerierbarkeit zeigen müsste. Ich wäre so froh, wenn wer das Wirr-Warr in meinen Kopf dazu lösen könnte! LG, MaGi

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