Tricks mit Potenzen und Termen

01.08.2015, 08:10

gunnertwo

Tricks mit Potenzen und Termen

Meine Frage:
Gibt es einen Trick, wie man schnell erkennen kann ob sich ein ausmultiplzierter Term mit höheren Potenzen in eine Produktform umformen lässt?
Beispielsweise kann man folgende beide Gleichungen so umformen:
$\begin{eqnarray*} (x-1)^{4} = x^{4} -4x^{3} +6x^{2} -4x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+5)^{4} = x^{4} +20x^{3} +150x^{2} +500x+625 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir ist klar, dass es 4 summanden bei einer Potenz von 4 geben muss und diese am Anfang steht. der zweite Koefizient lässt sich anscheinend berechnen indem man die Potenz mit dem Wert multipliziert der von x subtrhiert oder dazuaddiert wird. Die Konstante am Ende lasst sich ganz einfach mit der Potenz berechenen also 1^4 und 5^4. Ich komme jedoch nicht wirklich drauf wie sich der Rest der Werte berechnen lässt. Wär jedoch ganz nützlich denke ich, wenn man das so schnell erkennen kann, ob sich da was zusammenfassen lässt...
Danke schon mal und sorry falls es schon was ähnliches gibt im Forum smile

01.08.2015, 08:50

RavenOnJ

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RE: Tricks mit Potenzen und Termen
Da hilft der binomische Lehrsatz:
$\begin{align*} (a+b)^n=\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}a^i b^{n-i} \end{align*}$

01.08.2015, 08:53

Grashalmfest

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Du meinst es so, dass wenn du etwa den Term

$\begin{eqnarray*} x^4+20x^3+150x^2+500x+625 \end{eqnarray*}$ hast, dass du direkt die faktorisierung $\begin{eqnarray*} (x+5)^4 \end{eqnarray*}$ erkennst, richtig?

Es kommt natürlich auf den Term an.
Bei deinen Beispielen hätte ich sie wahrscheinlich gesehen.

Zitat:

Gibt es einen Trick, wie man schnell erkennen kann ob sich ein ausmultiplzierter Term mit höheren Potenzen in eine Produktform umformen lässt?

Jein. Ein allgemeines Rezept gibt es natürlich nicht. Um sowas zu erkennen braucht man wohl eher Erfahrung. Deine Terme sind nun sehr einfach, weil vor dem x kein Faktor steht und es auch nur zwei Komponenten gibt.
Da kann man es dann schon erkennen.

Allgemein lässt sich jedoch jeder Term in eine Produktform umformen. Jedenfalls wenn du auch komplexe Zahlen zulässt.
Wie zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ notwendig.

Dann musst du dich "nur" auf eine Nullstellen suche begeben.
Das wird mit höheren Potenzen natürlich immer schwieriger und kann beliebig aufwendig werden. Jedenfalls wenn man es per Hand machen möchte.

Ein weiterer "Trick" für einfache faktorisierungen ist es vielleicht sich mal das sogenannte Pascalsche Dreieck anzusehen. Das kann manchmal nützlich sein, wenn man diese Zahlenfolgen im Kopf hat.
Oder allgemein manche Zahlen einem Binomialkoeffizienten zuordnen kann.

Das was du unter eigenen Ideen schreibst halte ich in weiten Teilen für falsch, oder verstehe nicht was du genau meinst.
Wenn du ein Muster haben möchtest wie sich die Zahlen zusammensetzen, kannst du ja mal

(x+a)^4 oder ähnliches berechnen.
Man kann es sich auch kombinatorisch Überlegen wie die Koeffizienten entstehen. (Eben der Binomialkoeffizient)
Das wird es dir aber nicht wahrscheinlich nicht einfacher machen sowas direkt zu erkennen.

Lange Rede kurzer Sinn:

Wenn du eine Produktform haben möchtest, dann suche die Nullstellen.
Wirkliche Tipps, die sich nicht auf einfache Spezialfälle beziehen, kann man schwer geben.

01.08.2015, 10:27

Nubler

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hier stellt sich erst mal folgende frage: worüber sollen die polynome betrachtet werden, also in welchen zahlbereich sind wir?
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?
...

denn ob und wie ein polynom zerfällt (sich als produkt von polynomen kleineren grads darstellen lässt) hängt ganz entscheidend davon ab.

btw: es reicht die vorgabe des abschluss des zahlbereichs, dass jedes entsprechende polynom als produkt von linearfaktoren darstellbar ist, und dieser abschluss sind normalerweise nicht die komplexen zahlen.

01.08.2015, 11:07

RavenOnJ

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@Nubler
Du hast in deiner Aufzählung noch endliche Körper $\begin{align*} \mathbb F_p \end{align*}$ vergessen. Augenzwinkern

Sei das Polynom $\begin{align*} P(x):=\sum\limits_{i=0}^n a_i x^i \end{align*}$ . Die Frage ist nun, ob das Polynom eine n-fache Nullstelle $\begin{align*} b \end{align*}$ hat, sodass $\begin{align*} (x-b)^n=P(x) \end{align*}$ . Falls ja, dann folgt aus $\begin{align*} a_i\in\mathbb N \end{align*}$ , dass $\begin{align*} -b\in\mathbb N \end{align*}$ . Entsprechend würde folgen $\begin{align*} a_i\in\mathbb Z\Rightarrow b\in\mathbb Z \end{align*}$ , $\begin{align*} a_i\in\mathbb Q\Rightarrow b\in\mathbb Q \end{align*}$ , $\begin{align*} a_i\in\mathbb R\Rightarrow b\in\mathbb R \end{align*}$ . Man muss da keine Ring- oder Körpererweiterungen betrachten. Dies liegt daran, dass die binomischen Koeffizienten immer natürliche Zahlen sind (wenn ich mal die endlichen Körper weglasse). Multiplikationen und Additionen können also nie aus dem Ring oder Körper hinausführen ( $\begin{align*} \mathbb N \end{align*}$ ist kein Ring!). Anders gesagt:
$\begin{align*} b\in\mathbb Q\setminus\mathbb Z \Rightarrow a_0\in\mathbb Q\setminus\mathbb Z \end{align*}$
$\begin{align*} b\in\mathbb R\setminus\mathbb Q \Rightarrow \exists a_i: a_i \in\mathbb R\setminus\mathbb Q \end{align*}$
$\begin{align*} b\in\mathbb C\setminus\mathbb R \Rightarrow \exists a_i: a_i \in\mathbb C\setminus\mathbb R \end{align*}$

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