Beziehung zwischen zwei Koeffizienten für Sattelpunkt

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ghetz Auf diesen Beitrag antworten »
Beziehung zwischen zwei Koeffizienten für Sattelpunkt
Moin, das ist jetzt die erste Frage, bei der ich wirklich keine Lösungsansätze finde...

Also, folgende Aufgabe:

"Welche Beziehung muss zwischen den Koeffizienten b und c bestehen, damit der Graph von f mit



einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente hat?"

Ich kann dazu mehr nicht sagen, als dass ich dann eben einen Sattelpunkt brauche.
Aber in welcher Beziehung b und c stehen müssen - keine Ahnung. Wär am besten, wenn irgendjemand einen Beweis dafür findet smile

Und bevor jemand denkt, ich lasse meine Hausaufgaben hier lösen, wir haben gerade Ferien hier in Niedersachsen Big Laugh

Also, vielen Dank schon einmal!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, da ist ja wieder der fleißige, sich auf den kommenden Mathe-LK vorbereitende ghetz. Wink

Zitat:
Aber in welcher Beziehung b und c stehen müssen - keine Ahnung.


Falls dich das Wort "Beziehung" irritiert, damit ist oft lediglich eine Gleichung gemeint, die in diesem Fall b und c beinhaltet.

Kennst du denn ein Kriterium zum Nachweis von Wendepunkten bzw. ist dir bekannt, was ein Wendepunkt ist ?
ghetz Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, Wendepunkte für Wendepunkte muss ja gelten: und , desweiteren muss ein Vorzeichenwechsel in der zweiten Ableitung vorliegen. Wenn dann noch
ist, dann habe ich einen Sattelpunkt. Also müssen die ersten beiden Ableitungen Null werden, und das muss irgendwie durch b und c geschehen. Nur weiß ich nicht, was ich mit diesen Infos dann machen soll und was mit den anderen Parametern zu tun ist...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip hast du damit doch alles, was du brauchst.
Trau dich doch einfach und gehe so vor wie immer. Augenzwinkern

Wenn du so willst, dann liegt hier mit f(x)=x³+bx²+cx+d eine von b,c und d abhängige Schar von Funktionen vor.
Je nachdem was man also für b,c und d einsetzt, entsteht eine andere Funktion dieser Schar.
Im Endeffekt sollst du hier nur ganz normal (nur eben allgemein in Abhängigkeit von b und c) deine genannten Kriterien für einen Sattelpunkt benutzen.

Bestimme also doch mal die potentielle Wendestelle xw durch Lösen der Gleichung zu f ''(x)=0.
Teste dann, ob tatsächlich f'''(x) ungleich null ist und fordere abschließend noch f '(xw)=0, wodurch die gesuchte Beziehung (Gleichung) zwischen b und c resultieren sollte.
ghetz Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann hab ich mir mal folgendes überlegt:

Erst einmal das notwendige Kriterium:



dann nach dem Nullstellen/Wendestellen-x umformen:



Dann das andere Kriterium für den Sattelpunkt, dass f'(x) an dieser Stelle 0 sein muss:







Also ist die Lösung, dass der Parameter c immer ein Neuntel des quadrierten Parameters b sein muss?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Nenner müsste 3 stehen, nicht 9.
Prüfe das nochmal.

Damit hast du dann eine passende Bedingung/Beziehung hergeleitet, die natürlich von b und c abhängt.

Einen Satz zu f '''(x) ungleich null sollte man jedoch auch erwähnen, denn nur wenn das auch gilt, liegt wirklich ein WP vor.
 
 
ghetz Auf diesen Beitrag antworten »

Oh verdammt, bin nicht drauf gekommen, dass das bei Quadrieren alles positiv wird Ups
Aber gut, nachdem ich den Fehler beseitigt habe, hab ich es dann hingekriegt.
Die dritte Ableitung ist ja immer die Funktion f(x) = 6, das reicht ja als Beweis...

Gut, dann vielen Dank, aber ohne den geistigen Anstupser wär ich echt nicht drauf gekommen Big Laugh
Das Forum hier ist übrigens echt der Hammer! Ich würd ja gern irgendwo auch mal helfen, aber für die meisten Fragen bin ich (noch) zu inkompetent smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die dritte Ableitung ist ja immer die Funktion f(x) = 6, das reicht ja als Beweis...


Ja, mit f '''(x)=6 ist es dann komplett.
Mit "immer" meinst und weißt du hoffentlich, dass demnach JEDER Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades einen WP besitzt.
Eine Bedingung für diesen speziellen WP, welcher die Steigung null besitzt, hast du damit dann für so genannte normierte Funktionen (a=1) der Form f(x)=x³+bx²+cx+d hergeleitet.
Eine Abhängigkeit von 3 Unbekannten a,b und c wollte man bei dieser Aufgabenstellung wohl ersparen. Augenzwinkern

Zitat:
aber ohne den geistigen Anstupser wär ich echt nicht drauf gekommen


Joa, du merkst ja, du musst dich nur trauen, deine Gedanken dann aufzuschreiben und einfach mal loszulegen, auch wenn jetzt mal weitere Parameter im Spiel sind (die Vorgehensweise bleibt trotzdem dieselbe).
Aber daran gewöhnst du dich mit der Zeit und gerade im LK, wo man eben noch mehr in die Tiefe gehen wird, wirst du es dann auch desöfteren mit solchen Verallgemeinerungen (Scharparametern) zu tun haben.

Falls du die Muße hast, die Aufgabe noch ein wenig weiter zu führen, könntest du dir ja z.B. mal überlegen, welche Beziehung zwischen b und d gelten muss, damit der Sattelpunkt

a) genau auf der x-Achse
b) oberhalb der x-Achse
c) unterhalb der x-Achse

liegt.

Zitat:
Das Forum hier ist übrigens echt der Hammer! Ich würd ja gern irgendwo auch mal helfen,


Schön, dass du dich wohl fühlst und mit der Zeit kommt auch bei dir immer mehr Routine. Freude
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