Integralwert als Bruch mit Taschenrechner berechnen

02.08.2015, 21:34	sulfi	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralwert als Bruch mit Taschenrechner berechnen Hallo, ich will mir folgende Aufgabe von meinem Taschenrechner als Bruch anzeigen lassen. hxxp: // i.imgur. com /GxSVQzF.jpg Wenn ich die Aufgabe korrekt eintippe bekomme ich allerdings das Ergebnis als Dezimalstelle angezeigt. Wie bekomme ich das von meinem Taschenrechner so angezeigt wie es im Buch steht? Geht das Irgendwie?Ich habe einen Casio FX-86DE Plus (Leerzeichen in der URL löschen)
03.08.2015, 09:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ein prinzipielles Problem. Eine reelle Zahl ist in der mathematischen Theorie ein endlicher oder unendlicher Dezimalbruch. Ein Taschenrechner rechnet aber nur mit endlich vielen Stellen, allerdings mit mehr, als er anzeigt. Der Einfachheit halber tun wir einmal so, als würde der Taschenrechner mit 5 Stellen rechnen. Jetzt betrachten wir einmal die vier Brüche $\begin{align} \frac{5}{7}, \, \frac{32143}{45000}, \, \frac{14143}{19800}, \, \frac{71429}{100000} \end{align}$ Für alle vier Brüche würde unser Taschenrechner den Dezimalbruch $\begin{align} 0{,}71429 \end{align}$ angeben. Wenn der Taschenrechner jetzt aber bei einer numerischen Integration $\begin{align} 0{,}71429 \end{align}$ herausbekommt, woher soll er dann wissen, welcher der obigen vier Brüche oder welcher andere Bruch der richtige ist? Das ist prinzipiell unmöglich. Warum es manchen Taschenrechnern bei bestimmten Konstellationen dennoch gelingt, numerische Ergebnisse in Brüche zu verwandeln, weiß ich nicht. Vielleicht sind bestimmte besonders häufig vorkommende Muster gesondert programmiert oder der Taschenrechner merkt sich die Historie der Rechnung oder er kann bis zu einem gewissen Grad doch symbolisch rechnen. Aber das ist jetzt Spekulation. Vielleicht gibt es hier im Board Berufenere, die sich mit der Programmierung von Taschenrechnern auskennen.
03.08.2015, 16:26	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
mein TR hat ein CAS und kann das. Wenn man numerisch rechnet, genügen hier schon 4 bis 5 gültige Ziffern. Bei der Rückumwandlung in einen Bruch ( kann deiner das ?) sollte man aber die Genauigkeit auch einstellen können. Dann stabilisiert sich der berechnete Bruch. Beispiel : sei numerische Genauigkeit =7 eingestellt. $\begin{eqnarray} \rightarrow J=-0.390624999995 \pm 3.91\cdot {10}^{-8} \end{eqnarray}$ Wird das nun mit steigender Genauigkeit in einen Bruch verwandelt erhält man $\begin{eqnarray} \|J\| = \frac 25 , \frac {9}{23} , \frac {25}{64}, \frac {25}{64}, \frac {25}{64},\frac {25}{64}, \frac {25}{64}, \frac {25}{64}, \frac {25}{64}, \frac {1349892016}{3455723561} \end{eqnarray}$ Damit ist ziemlicher klar, welcher Bruch infrage kommt.ist.
03.08.2015, 16:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte im vorliegenden Fall auch einfach "zu Fuss" rechnen, etwa erleichtert durch die Verschiebe-Substitution $\begin{align} x=u+1 \end{align}$ : $\begin{align} \int\limits_1^{1+\frac{\sqrt{5}}{2}} \left( x^3-3x^2+\frac{7}{4}x+\frac{1}{4} \right) ~ \dd x = \int\limits_0^{\frac{\sqrt{5}}{2}} \left( (u+1)^3-3(u+1)^2+\frac{7}{4}(u+1)+\frac{1}{4} \right) ~ \dd u = \int\limits_0^{\frac{\sqrt{5}}{2}} \left( u^3-\frac{5}{4}u \right) ~ \dd u \end{align}$ Ab hier ist klar, dass bei den Grenzen ein rationales Ergebnis herauskommen muss.

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