Auflösen einer Gleichung mit n und Wurzel(n) nach n

Neue Frage »

KarlTr Auf diesen Beitrag antworten »
Auflösen einer Gleichung mit n und Wurzel(n) nach n
Guten Tag liebe Forenteilnehmer!

Nach zwei Tagen vergeblichen Bemühens möchte ich meine Frage hier stellen.

Es geht um eine Aufgabe aus der Statistik, wobei das Problem allein im Auflösen der folgenden Gleichung liegt und nicht an den statistischen Sachverhalten. Die Gleichung ist wie folgt:



Mit folgenden Werten:
a: 10000
b: 0,7
c: 0,21
z: -2,33

Was ich gemacht habe:
Quadriert, dann in die Form einer ausmultiplizierten 2. binomischen Formel gebracht. So ergänzt, dass sich eine 2. binomische Formel ergibt. Auf beiden Seiten die Wurzel gezogen und nach n aufgelöst. Mein Wert für n ist: 14104,56. Wenn ich den in die Gleichung einsetze, kommt exakt der Betrag für z raus, aber mit dem falschen, nämlich positiven Vorzeichen. Die exakte Rechnung ist in dem anliegenden PDF enthalten.
Der korrekte Wert für n ist laut dem Skript 14468. Wenn man den einsetzt, kriegt man zwar nicht ganz den exakten Wert für z, aber das richtige Vorzeichen.
War der Ansatz mit dem Auflösen nach n richtig oder hätte man besser nach Wurzel(n) aufgelöst. Ich weiß hier jedenfalls nicht mehr weiter und hoffe, dass jemand einen Tipp für mich hat.
Danke und viele Grüße
Karl
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auflösen einer Gleichung mit n und Wurzel(n) nach n
Hab jetzt nicht Dein pdf bis zum bitteren Ende gecheckt ..
Nach 0 = ... würde ich an die pq-Formel denken ...
LG Mathe-Maus Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht auch, ohne sich mit derartig möglichen Scheinlösungen herumzuplagen: Man kann die Ausgangsgleichung nach kleineren Umstellungen ohne Quadrierung (!) direkt als quadratische Gleichung für die Variable auffassen, d.h. bedeutet , äquivalent umgestellt zu

.

Offensichtlich interessiert nur die eine positive Lösung dieser Gleichung, die anschließend quadriert werden muss, um zu erhalten.
KarlTr Auf diesen Beitrag antworten »

Liebes Forumsmitglied HAL 9000,

herzlichen Dank für die Unterstützung! Mit dem Ansatz bin ich endlich auf die korrekte Lösung gekommen!!

Darf ich noch eine Frage nachschieben:

Ist der Ansatz "zuerst quadrieren" nicht nur wegen des viel höheren Rechenaufwandes zu vermeiden oder ist er sogar methodisch falsch (daher "Scheinlösung"?)?

Danke nochmals.

Beste Grüße

KarlTr
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Durch das Quadrieren erhältst zu letzten Ende sowohl die Lösung von als auch von , letzteres ist dann mit "Scheinlösung" gemeint, die es herauszufiltern gilt. Das kann man nicht als falsch bezeichnen - viele Gleichungen lassen sich nur dadurch knacken, indem man "zwischendurch" auch leider solche nicht äquivalenten Umformungen vornimmt - in dem Fall ist dann aber eben eine Probe unabdingbar.

Bei dem von mir vorgeschlagenen Weg ist das glücklicherweise nicht nötig: Zwar hat die quadratische Gleichung in auch zwei reelle Lösungen, von denen aber die negative klar nicht zu einem gehört und damit nicht in Betracht gezogen werden muss.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der korrekte Wert für n ist laut dem Skript 14468. Wenn man den einsetzt, kriegt man zwar nicht ganz den exakten Wert für z, aber das richtige Vorzeichen.


Das verstehe ich nicht. Wieso reicht denn hier das richtige Vorzeichen, aber nicht der exakte Wert?

Der Weg von HAL ist sicherlich eleganter, du machst dir das Leben aber auch unnötig schwer in deinem PDF. Wendest du an dieser Stelle



einfach wie Mathe-Maus vorgeschlagen hat die pq-Formel an, ergibt sich nach einmaliger Umformung:





Die Lösung wurde von dir durch die nun notwendige Probe ja richtigerweise ausgeschlossen, die Lösung erfüllt jedoch die Probe durchaus. Was spricht nun gegen diesen Wert?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Was den "nicht ganz exakten Wert" betrifft: Das kommt auch ganz drauf an, wie genau der Wert von ist, mit dem man arbeitet.

Oben steht , damit bekommt man .

Wenn da aber mit das 1%-Quantil der Standardnormalverteilung gemeint sein sollte (was ich vermute), dann bekommt man mit dem etwas genaueren Wert dann . Kein großer Unterschied, aber vielleicht eine Erklärung für das "nicht ganz". Augenzwinkern
KarlTr Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte mich zunächst einmal ausdrücklich bei HAL 9000, Mathe-Maus und Mathema für die in mein Problem für mich erfolgreich investierte Zeit bedanken.

Es handelt sich in der Tat um eine Aufgabe zur Berechnung eines 1%-Quantils bei einer Standardnormalverteilung.

Die Lösung 14468 war angegeben. Beim Einsetzen gab es immer eine leichte Abweichung vom Zielwert -2,33. Der mit Eurer Hilfe berechnete Wert 14469,2 dagegen trifft es schon sehr genau.

Statt die pq-Formel zu benutzen habe ich in der PDF-Lösung einen (1) Wert für n herausbekommen, nämlich die 14104 (der von der pq-Formel verworfene 2. Wert). Den habe ich zur Probe eingesetzt und dann kam zwar der richtige Betrag aber das falsche Vorzeichen raus. Den Zusammenhang habe ich jetzt erst verstanden.

Ich hoffe, dass ich mich auch bei "echten" Statistikfragen demnächst einmal an das Forum wenden darf, auch wenn ich leider nicht in der Lage bin, selbst hilfreiche Hinweise geben zu können.

Beste Grüße aus Bonn

KarlTr
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »