Extremwertaufgabe

03.08.2015, 13:16

pina_93

Extremwertaufgabe

Meine Frage:
Gegeben ist ein rechteckiges Stück Karton mit der Seitenlänge a, aus dem eine
Box mit maximalen Fassungsvermögen Vmax gefaltet werden soll. Bestimmen Sie
die Kantenlänge x der Box in Abhängigkeit von der Seitenlänge a.

Wie man allgemein an Extremwertaufgaben ran geht weiß ich, jedoch fehlt mir hier der Anhaltspunkt weil für a kein Wert gegeben ist :/ Gibt es da bestimmte Regeln für Quadrate?

Meine Ideen:
A= (a-2x)*(a-2x)
V(x) = x*(a-2x)^2 -> max

mehr habe ich leider noch nicht, ich brauche doch eine Nebenbedingung oder?

03.08.2015, 13:29

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Da es hier beliebig viele Lösungen gibt, existiert auch keine Nebenbedingung.

Bestimme einfach den Hochpunkt von V(x).

Viele Grüße
Steffen

03.08.2015, 13:50

pina_93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
das heißt V(x)= x*(a-2x)^2 ableiten und das dann 0 setzen, oder?

Danke für die schnelle Antwort!

03.08.2015, 13:58

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Ja, so ist es. Beim bloßen Nullsetzen erhältst Du allerdings zwei Lösungen, denn die Funktion hat einen Hoch- und einen Tiefpunkt. Entweder verwendest Du also noch die zweite Ableitung, oder Du "siehst", dass eine Lösung unrealistisch ist.

03.08.2015, 14:32

pina_93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
ich habe das raus: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a^{2} }{4} } \end{eqnarray*}$

bin mir aber sehr unsicher :/

03.08.2015, 14:37

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Da hast Du gerade die unrealistische Lösung erwischt, denn wenn Du die Wurzel auflöst, ergibt sich a/2.

Du müsstest also vier Quadrate der Seitenlänge a/2 aus einem Karton der Kantenlänge a rausschneiden. Na, fällt Dir was auf?

Hast Du keine zweite Lösung? Oder wie hast Du gerechnet?

03.08.2015, 14:48

pina_93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
nein ich hab keine andere Lösung... habe die binomische Formel angewandt und dann mit x ausmultipliziert

$\begin{eqnarray*} a^{2}-4x^{2} = 0 | + 4x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{2} = 4x^{2} \end{eqnarray*}$ | :4

$\begin{eqnarray*} a^{2}/4 = x^{2} |\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a^{2}}{4} } = x \end{eqnarray*}$

ja ich verstehe, dann müsste immer die Hälfte der Seite hochgeklappt werden und das funktioniert nicht verwirrt

03.08.2015, 14:51

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Du hast doch geschrieben, Du willst

Zitat:

V(x)= x*(a-2x)^2 ableiten und das dann 0 setzen

Aber a²-4x² ist nicht die Ableitung von x*(a-2x)². Rechne noch mal nach.

03.08.2015, 15:12

pina_93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
ja klar, ich bin durcheinander gekommen :/ die Ableitung ist (-4x*(a-2x))+ ((a-2x)^2)

ich krieg´s irgendwie nicht hin das 0 zu setzen... also jedenfalls nicht mit schlüssigen Ergebnissen :/

03.08.2015, 15:15

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Die Ableitung stimmt. Ordne sie nach x², x und Konstanten, dann wende die MItternachts- bzw. pq-Formel an.

03.08.2015, 15:41

pina_93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
ist das dann (x^2) - (xa) + ((a^2)/4)?

03.08.2015, 15:48

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Nein, da ist was durcheinandergekommen. Mal langsam:

$\begin{align*} -4x \cdot (a-2x) + (a-2x)^2 \end{align*}$

$\begin{align*} = -4ax + 8x^2 + a^2 -4ax +4x^2 \end{align*}$

$\begin{align*} = 12x^2 -8ax + a^2 \end{align*}$

Ok? Jetzt Du.

03.08.2015, 15:55

pina_93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
ok jetzt muss ich das durch 12 teilen

$\begin{eqnarray*} x^{2}- \frac{2}{3}a*x +\frac{a^{2} }{12} \end{eqnarray*}$

03.08.2015, 15:56

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Genau. Was bekommst Du raus?

03.08.2015, 16:07

pina_93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
ich weiß nicht wie ich das lösen soll mit der unbekannten in der Formel :/

also als pq Formel habe ich

$\begin{eqnarray*} -\frac{\frac{2}{3} a}{2}\pm \sqrt{(-\frac {\frac{2}{3} a}{2})^2 - \frac{a^{2} }{2} } \end{eqnarray*}$

03.08.2015, 16:10

pina_93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
$\begin{eqnarray*} -\frac{\frac{2}{3} a}{2}\pm \sqrt{(-\frac {\frac{2}{3} a}{2})^2 - \frac{a^{2} }{24} } \end{eqnarray*}$

03.08.2015, 16:10

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Die Unbekannte bleibt einfach stehen, das ist ja nicht weiter schlimm. Rechne einfach stur aus.

Denk dran, dass es $\begin{align*} - \frac p2 \end{align*}$ und $\begin{align*} -q \end{align*}$ in der pq-Formel heißt.

Dann vereinfache.

03.08.2015, 16:37

pina_93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
ich weiß statt der 24 muss eine 12 hin, ich kriege das mit dem ausrechnen nicht hin, dass tut mir so leid! Aber ich weiß nicht wie man das mit der Wurzel hinkriegen soll...

03.08.2015, 16:50

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Keine Panik.

Wir haben $\begin{align*} x^{2}- \frac{2}{3}ax +\frac{a^{2} }{12}=0 \end{align*}$ zu knacken.

Also ist $\begin{align*} p=-\frac 23 a \end{align*}$ und $\begin{align*} q=\frac{a^{2} }{12} \end{align*}$

Die pq-Formel lautet $\begin{align*} x_{1/2} = - \frac p2 \pm \sqrt { \left( \frac p2 \right)^2 -q} \end{align*}$

Erst mal $\begin{align*} - \frac p2 \end{align*}$ . Das ist ja die negative Hälfte von $\begin{align*} p \end{align*}$ . Die Hälfte von $\begin{align*} - \frac 23 a \end{align*}$ ist $\begin{align*} - \frac 13 a \end{align*}$ , negativ also $\begin{align*} \frac 13 a \end{align*}$ . Ok?

Das wird jetzt einfach quadriert. Viele Mathelehrer weisen auf diesen Umstand nicht hin, dass wenn man $\begin{align*} - \frac p2 \end{align*}$ ausgerechnet hat, man das - schwupp! - quadriert unter die Wurzel schreiben kann. Das Vorzeichen ist immer Plus.

Das wäre dann also $\begin{align*} \frac 19 a^2 \end{align*}$ . Ok?

Unter der Wurzel steht jetzt somit $\begin{align*} \frac 19 a^2 - \frac 1 {12} a^2 \end{align*}$ . Das schaffst Du, oder?

03.08.2015, 17:12

pina_93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
vielen Dank für deine Geduld!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{36}a^{2} \end{eqnarray*}$

03.08.2015, 17:13

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Prima! Nun die Wurzel ziehen und die beiden x-Werte berechnen.

03.08.2015, 17:20

pina_93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
a/6 und a/2, dann ist a/6 die Lösung?

03.08.2015, 17:20

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Genau so ist es!

Viele Grüße
Steffen

03.08.2015, 17:22

pina_93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
oh super! Vielen, vielen, vielen Dank ! Big Laugh

03.08.2015, 17:53

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Gegeben ist ein rechteckiges Stück Karton mit der Seitenlänge a, aus dem eine
Box mit maximalen Fassungsvermögen Vmax gefaltet werden soll. Bestimmen Sie
die Kantenlänge x der Box in Abhängigkeit von der Seitenlänge a.

Für alle die Mitleser, die diese Aufgabe vielleicht noch nicht unzählige Male gesehen, ebenso keine entsprechende Skizze haben und sich die nicht erwähnten Infos somit nicht so leicht dazu denken können:

1. Sicher ist ein Quadrat auch ein (spezielles) Rechteck, man hätte aber auch direkter von "quadratisches Stück Karton" sprechen können.

2. Naja wie soll denn das nun gefaltet werden und welche Form soll die fertige Box haben ? Zwei äußerst entscheidende Aspekte und es ist wohl so, dass man in allen 4 Ecken des quadratischen Kartons ein Quadrat der Länge x abschneidet und die dadurch entstehende Figur durch entsprechendes Hochklappen der verkürzten Seiten zu einer quaderförmigen Box wird.

3. Zur Vermeidung von Doppelbelegungen und auch aufgrund der falschen Bezeichnung ist es zudem auch noch unabdingbar, dass man statt "Kantenlänge x der Box" dann doch eher sowas wie "Höhe x der Box" sagt, denn eine quaderförmige Box besteht natülich aus mehreren Kanten und x entspricht somit eben genau der abgeschnittenen Quadratlänge (siehe 2.).

Neue Frage »

Antworten »

Extremwertaufgabe

Verwandte Themen