Rückschluss von Jacobi-Matrix auf Funktion

03.08.2015, 17:21

Niere

Rückschluss von Jacobi-Matrix auf Funktion

Hallo!

Ich bin beim Rechnen einer Übungsklausur auf eine Aufgabe gestoßen, bei der die Jacobimatrix einer Verknüpfung $\begin{eqnarray*} h = f \circ g \end{eqnarray*}$ zweier Funktionen des R² gefordert war. Während mir die Funktion f(x,y) bekannt ist, ist die Funktion g jedoch nur durch zwei Ableitungsmatrizen mit bereits eingesetzten Anfangsbedingungen gegeben. Durch diese schlussfolgerte ich auf die folgende allgemeine Ableitungsmatrix von g :

$\begin{eqnarray*} J_g = \begin{pmatrix} y & 1+y \\ 1+2y & 4y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um die Kettenregel im Mehrdimensionalen anzuwenden und die Aufgabe zu lösen, muss mir jedoch noch g bekannt sein.
Meine Frage: Wie schlussfolgere ich also aus einer Jacobi-Matrix auf die ursprüngliche Funktion?

Mein Ansatz: Eine Ableitungsmatrix gibt mir in jeder Spalte die partielle Ableitung nach einer Variablen. Wenn meine gesuchte Funktion g also die Form g( u(x,y) , v (x,y) ) hat, so kann ich den ersten Eintrag der ersten Zeile partiell nach x integrieren, anschließend nach y ableiten und mit dem zweiten Eintrag der ersten Zeile gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} u = \int y \, dx = yx + c(y) \\ \dfrac{\delta}{\delta y} yx + c(y) \stackrel{!}{=} 1+y \end{eqnarray*}$

Mit diesem Ansatz erhalte ich $\begin{eqnarray*} u = y + \dfrac{1}{2} \cdot y^2 \end{eqnarray*}$ ....was im Widerspruch zu meiner Jacobimatrix steht.

Über Denkanstöße und ein Kochrezept zum Rückschließen auf die ursprüngliche Funktion (ich weiß nämlich nicht, was nach dem Gleichsetzen noch für Schritte folgen müssten) wäre ich sehr dankbar!

Btw: Ich bin ein Newbie hier im Forum - also seid mir nicht böse, wenn ich die Knigge noch nicht beherrsche. smile

03.08.2015, 17:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Niere
ist die Funktion g jedoch nur durch zwei Ableitungsmatrizen mit bereits eingesetzten Anfangsbedingungen gegeben. Durch diese schlussfolgerte ich auf die folgende allgemeine Ableitungsmatrix von g :

$\begin{eqnarray*} J_g = \begin{pmatrix} y & 1+y \\ 1+2y & 4y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vielleicht gibst du zunächst mal an, was wirklich gegeben ist. D.h., ohne deine Schlußfolgerung, die im vorliegenden Fall ganz offensichtlich falsch sein muss - wie du ja selbst inzwischen auch festgestellt hast.

03.08.2015, 17:52

Niere

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Gegeben waren

$\begin{eqnarray*} g'(0,0)= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(0,1)= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.08.2015, 17:55

HAL 9000

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Und da hast du gedacht, lineare Interpolation löst das Problem... tut es nicht.

Ich denke, uns allen ist gedient, wenn du mal die komplette Aufgabe nennst.

03.08.2015, 18:04

Niere

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Aufgabenstellung:
Sei
$\begin{eqnarray*} f: R^2 \rightarrow R^2, f(x,y) = (x+2y^2, e^x(y+1)) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} g: R^2 \rightarrow R^2 \end{eqnarray*}$ eine differenzierbare Funktion mit... (den zwei Ableitungsmatrizen aus meinem vorherigen Post).

Sei $\begin{eqnarray*} h = g \circ f \end{eqnarray*}$ . In welchen Punkten ist h differenzierbar? Berechnen Sie die Ableitungsmatrizen h'(0,0) und h'(-2,-1).

03.08.2015, 18:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Niere
Berechnen Sie die Ableitungsmatrizen h'(0,0) und h'(-2,-1).

Zusammen mit $\begin{align*} f(0,0)=(0,1) \end{align*}$ und $\begin{align*} f(-2,-1)=(0,0) \end{align*}$ erklärt das natürlich einiges. Augenzwinkern

Wie lautet denn die mehrdimensionale Kettenregel, mit Jacobi-Matrizen formuliert?

03.08.2015, 19:05

Niere

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Soweit ich weiß:

$\begin{eqnarray*} J_{h=f \circ g} = J_f(g) \cdot J_g \end{eqnarray*}$
wobei es sich bei der Multiplikation um gewöhnliche Matrixmultiplikation handelt. Ich setze also g in die Jacobi-Matrix von f ein - daher rührt meine verzweifelte Suche nach der ursprünglichen g-Funktion.

03.08.2015, 19:54

HAL 9000

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Hier geht es aber um $\begin{align*} J_{g\circ f}(x,y) = J_g(f(x,y))\cdot J_f(x,y) \end{align*}$ nur für die beiden Punkte $\begin{align*} (x,y)=(0,0) \end{align*}$ und $\begin{align*} (x,y)=(-2,-1) \end{align*}$ , d.h. um

$\begin{align*} J_{g\circ f}(0,0) = J_g(f(0,0))\cdot J_f(0,0) = J_g(0,1)\cdot J_f(0,0) \end{align*}$

und

$\begin{align*} J_{g\circ f}(-2,-1) = J_g(f(-2,-1))\cdot J_f(-2,-1) = J_g(0,0)\cdot J_f(-2,-1) \end{align*}$ .

04.08.2015, 17:44

Niere

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Ach gottchen, wer lesen kann ist klar im Vorteil! Ich fing schon gerade an, die Nicht-Kommutativität der Verkettung von Funktionen zu hinterfragen, als mein durch die Hitze verlangsamtes Hirn sah, dass $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ gefragt ist. Danke für deine Geduld!

In dem Fall brauche ich also die ursprüngliche g-Funktion nicht. Trotzdem würde mich interessieren, wie ich theoretisch von einer Jacobi-Matrix auf die ursprüngliche Funktion rückschließen könnte. Ist das zufälligerweise schnell erklärt (ist mein Ansatz mit dem partiellen Integrieren vielleicht sogar in einigen Punkten richtig), oder gibt es einen Literaturtipp? (:

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