Stetigkeit 1/x^2 mit epsilon-Delta

03.08.2015, 18:55

ChrizZly

Stetigkeit 1/x^2 mit epsilon-Delta

Meine Frage:
Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe zu rechnen:
$\begin{eqnarray*} f: (0,\infty)\rightarrow\mathbb R , f(x)=\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie mithilfe der $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ Definition, dass f(x) stetig ist.
b) Geben Sie ein Intervall an, auf dem f gleichmäßig stetig ist.

Meine Ideen:
Zu a)
Erstmal in die Definition |f(x)-f(x0)|eingesetzt.
Bin dann zu $\begin{eqnarray*} \frac{|x+x_0|\cdot |x-x_0|}{x^2x_{0}^{2}} < \frac{|x+x_0|\cdot\delta}{x^2x_{0}^{2}} \end{eqnarray*}$ gekommen.

Eigentlich kenne ich es jetzt, dass man die obere Grenze in x und x_0 einsetzt aber hier ist diese ja offen.
Zu b) Müsste ja für ein intervall stimmen auf dem delta weder von x noch von epsilon abhängt. Richtig? aber keine Idee, wie ich dieses Interval finde.

Edit by IfindU:

code:
1:	:(0, \infty)

wird leider als unglücklich

0, \infty) interpretiert bevor LaTeX seine Finger dran bekommt.

04.08.2015, 13:04

RavenOnJ

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RE: Stetigkeit 1/x^2 mit epsilon-Delta
Zu a):
Du suchst doch zu jedem $\begin{align*} \epsilon >0 \end{align*}$ ein $\begin{align*} \delta \end{align*}$ , sodass für alle x aus dem Definitionsbereich mit $\begin{align*} \vert x -x_0\vert \le\delta \end{align*}$ der Betrag der Differenz $\begin{align*} \Delta_{\epsilon, x_0}(x):=\left\vert f(x) -f(x_0)\right\vert \le\epsilon \end{align*}$ . Da die Funktion monoton ist, reicht es die Grenzen des Intervalls $\begin{align*} [x_0-\delta,x_0+\delta] \end{align*}$ zu betrachten, denn dort liegt das Maximum von $\begin{align*} \Delta_{\epsilon, x_0}(x) \end{align*}$ . Eine kleine Inspektion des Graphen zeigt sogar, dass es reicht $\begin{align*} \left\vert f(x_0-\delta) -f(x_0)\right\vert \le \epsilon \end{align*}$ zu untersuchen. Löse dies nun unter Benutzung von geschickten Abschätzungen nach $\begin{align*} \delta \end{align*}$ auf.

Zu b):
Der Satz von Heine sagt dir wahrscheinlich nichts, aber der zeigt, dass du jedes beliebige abgeschlossene Intervall innerhalb des Def.bereichs nehmen kannst. Die gleichmäßige Stetigkeit auf diesem Intervall müsstest du natürlich noch zeigen.

04.08.2015, 14:20

ChrizZly20

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RE: Stetigkeit 1/x^2 mit epsilon-Delta
Leider habe ich folgendes Problem mit den Grenzen. Was sind hier genau die grenzen? Null und Unendlich sind ja nicht im Intervall (x kann auch nicht null werden, da dort die Funktion nicht stetig ist) Und in der Klausur kann ich mir keinen Graphen plotten lassen. Wie kommt man den auf die zweite formel?

b) Davon habe ich doch schon gehört.

also wäre das intervall [1,unendlich] ?

04.08.2015, 14:41

RavenOnJ

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RE: Stetigkeit 1/x^2 mit epsilon-Delta

Zitat:

Original von ChrizZly20
Leider habe ich folgendes Problem mit den Grenzen. Was sind hier genau die grenzen? Null und Unendlich sind ja nicht im Intervall (x kann auch nicht null werden, da dort die Funktion nicht stetig ist) Und in der Klausur kann ich mir keinen Graphen plotten lassen. Wie kommt man den auf die zweite formel?

Was meinst du mit "Was sind hier genau die grenzen?" Bei welcher Betrachtung? Beim $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium? Den Graphen braucht man nicht plotten, bei solchen Graphen reicht die bildliche Vorstellung, bei mir zumindest. Wenn du mit der bildlichen Vorstellung von Graphen einer Funktion Schwierigkeiten hast, dann würde ich dir dringendst raten, diese zu schulen. Das ist eminent hilfreich, wenn man sich ungefähr vorstellen kann, wie eine Funktion aussieht. Zumindest gilt dies für Funktionen einer oder sogar zweier reeller Veränderlicher.

Welche "zweite Formel" meinst du?

Zitat:

b)

also wäre das intervall [1,unendlich] ?

Das Intervall ist nicht kompakt. Du kannst jedes beliebige andere mit reeller oberer Grenze nehmen.

04.08.2015, 19:05

Bjoern1982

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Zitat:

Bin dann zu $\begin{eqnarray*} \frac{|x+x_0|\cdot |x-x_0|}{x^2x_{0}^{2}} < \frac{|x+x_0|\cdot\delta}{x^2x_{0}^{2}} \end{eqnarray*}$ gekommen.

Eigentlich kenne ich es jetzt, dass man die obere Grenze in x und x_0 einsetzt aber hier ist diese ja offen.

Falls du, ChrizZly, deinen eigenen Weg auch noch weitergehen möchtest, dann hast du ja gemerkt, dass du dir wegen dem (vor allem nach oben) offenen Intervall, etwas anderes für weitere Abschätzungen einfallen lassen musst (wenn du dann dein abgeschlossenes Intervall für b) wählst, dann hast du damit dann leichtes Spiel, um dein x und x0 aus dem Term zu kriegen).
Bei sowas wie |x+x0| hilft immer sowas wie |x-x0+2x0| und dann die Dreiecksungleichung.
Ferner könnte noch die Festlegung $\begin{eqnarray*} 0<x_0 \leq x \end{eqnarray*}$ für den Nenner hlifreich sein.

04.08.2015, 20:19

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

Das ist allerdings unnötig kompliziert. Es geht viel einfacher.

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