Vollständige Induktion n/2n+1

04.08.2015, 12:17

Matherial

Vollständige Induktion n/2n+1

Meine Frage:
Hallo,
Ich muss zeigen, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Nun habe ich folgendes gemacht. Für n=1 ist die Aussage wahr.
n=n1 umgeformt zu:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)} = \frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)} \end{eqnarray*}$

Auf einen Nenner gebracht: und stehe nun hier auf der Stelle:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(2n+1)(2n+3)+2n+1}{(2n+1)(2n+1)(2n+3)} = \frac{n+1}{2n+3} \end{eqnarray*}$

Ausmultipliziert komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{4n^3+6n^2+5n+1}{8n^3+20n^2+14n+3} \end{eqnarray*}$

Viel helfen tut es mir grad nicht.

Wie kann ich weiter voran gehen?

-Matherial

04.08.2015, 12:53

Grashalmfest

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Ausmultiplizieren ist bei Indutkionsaufgaben selten ratsam.
Viel eher solltest du versuchen zu faktorisieren und dementsprechend auszuklammern.

Wenn du ausmultiplizierst wird es schwerer zu erkennen, dass man fertig ist, weil man sich die Teile wieder "zusammenpuzzeln" muss.

Induktion ist hier eigentlich gar nicht notwendig, aber wahrscheinlich sogar am einfachsten.
Es liegt eine sogenannte Teleskoppsumme vor.

2. Beitrag
Es ist wahrscheinlich ein Tippfehler, aber du musst natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{2n+3} \end{eqnarray*}$ erhalten.

Des Weiteren ist der Hauptnenner hier (2n+1)(2n+3)

3. Beitrag

Zitat:

du musst natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{2n+3} \end{eqnarray*}$ erhalten

Nein, es stimmt schon...
War in der Zeile verrutscht.

Edit: 3 Beiträge zusammengefügt. Bitte nimm dir in Zukunft genügend Zeit, um deinen Beitrag zu überdenken. Mehrfachposts sind unerwünscht. LG Iorek

04.08.2015, 13:03

Matherial

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Ich soll das mit vollständiger Induktion beweisen.

Und wieso muss ich n+2/2n+3 erhalten?
Wenn ich ja für n=n+1 einsetze? Es steht ja kein n+1 im Zähler, sondern nur n.

04.08.2015, 13:09

Grashalmfest

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Ja, da hatte ich mich vertan, weil ich dachte du möchtest

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n+1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

zeigen, was offensichtlich nicht der Fall ist...
Es stimmt also schon wie du es schreibst.

Wichtig ist, dass du am besten mit dem Hauptnenner erweiterst, der zusätzliche Faktor (2n+1) ist hier unnötig und dann nicht ausmultiplizierst, sondern ausklammerst.

04.08.2015, 13:27

Matherial

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Wie soll ich hier faktorisieren?

Unten brauche ich ja nur das 2n+1. also will ich das 2n+3 wegbekommen.
Ich habe nun ein problem. Faktorisieren ist nicht so meine Stärke. Also habe ich einfach am Ergebnis mit 2n+1 erweitert.

Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{n(2n+3)+2n+1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(2n+1)}{(2n+3)(2n+1)} \end{eqnarray*}$

Nun beide Seiten ausmultipliziert und ich bekomme im Nenner das gleiche, aber der Zähler unterscheidet sich.

Wenn ich nur den Zähler betrachte steht dann bei mir:

$\begin{eqnarray*} 2n^2+5n+1=2n^2+3n+1 \end{eqnarray*}$

04.08.2015, 13:42

klarsoweit

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RE: vollständige Induktion n/2n+1

Zitat:

Original von Matherial
Unten brauche ich ja nur das 2n+1. also will ich das 2n+3 wegbekommen.

Das ist gerade umgekehrt: du brauchst das 2n+3 und mußt das 2n+1 wegbekommen.

Zitat:

Original von Matherial
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)} = \frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mit der rechten Seite weiterrechne, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)} = \frac{n \cdot (2n+3) + 1}{(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

Anscheinend ist bei deiner Rechnung irgendwas schief gelaufen. smile

04.08.2015, 13:59

Matherial

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RE: vollständige Induktion n/2n+1
Dann stimmt es auch.
Ich hatte zuerst die linke Seite mit beiden Nennern erweitert, so dass ich die rechte Seite mit dem linken Nenner erweitern musste, Später habe ich nur noch mit einem Nenner erweitern und im Zähler muss dann der der Nenner des linken Teiles irgendwie sich wieder eingeschlichen haben..

Vielen Dank für die hilfe.

- Matherial

04.08.2015, 17:53

Grashalmfest

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Wenn dich der nicht-induktive-Weg interessiert, das würde wie folgt gehen.

Diese Rechnung finde ich relativ wertvoll, weil sie eigentlich klar macht wie dieser Summenwert entsteht. Außerdem enthält sie einige "Ideen" die immer mal wieder vorkommen und es sich lohnt sie mal in Anwendung gesehen zu haben.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{2(2k-1)}-\frac{1}{2(2k+1)} \end{eqnarray*}$

Rechne das am besten einmal nach, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2(2k-1)}-\frac{1}{2(2k+1)} \end{eqnarray*}$

gilt. Natürlich schreibt man es nicht einfach so hin, wie ich es nun getan habe, sondern muss sich das ganze überlegen. Das kann man etwa mit einer Partialbruchzerlegung machen. Rechnet man geschickt ist eine echte Partialbruchzerlegung oft nicht notwendig.
Das ist die erste "Idee" die du aus dieser Rechnung entnehmen solltest.
Nämlich, dass du Brüche "auseinanderziehen" kannst.

Wenn du nicht weist, was eine Partialbruchzerlegung ist, dann empfehle ich dir es selber anzueignen.
Einfache Partialbruchzerlegungen sind nicht schwer und wenn du ein oder zwei Brüche selber zerlegt hast, wirst du das Prinzip verstanden haben und kannst es sicherlich selber anwenden.
Diese Rechenmethode kann außerordentlich hilfreich sein.

Es geht weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac12\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac12\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k+1}\right) \end{eqnarray*}$

Und nun muss man folgendes erkennen, nämlich die Teleskopsumme.
Betrachten wir einmal das was in der Klammer steht und machen uns ein Beispiel für n=4, dann erhalten wir ausgeschrieben folgendes:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac13+\frac15+\frac17-\left(\frac13+\frac15+\frac17+\frac19\right)=1-\frac19 \end{eqnarray*}$

Wie du nun hoffentlich siehst, annulieren sich fast alle Summanden.
Nur der Erste Summand, der ersten Summe (die 1) und der letze Summand, der letzen Summe (die 1/9) haben keinen "Partner".
Dieses Verhalten setzt sich für jedes n natürlich fort. Immer wird der erste Summand und der letzte Summand übrig bleiben.

Wie kann man das erkennen?
Da spielt natürlich viel Erfahrung eine Rolle, aber man muss es halt irgendwann mal gesehen haben und wird es früher oder später dann mal selber erkennen. Mehr will ich auch gerade gar nicht erreichen.
Jedenfalls kann man erkennen, dass die beiden Summen über

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2k+1} \end{eqnarray*}$ summieren. Und das heißt, dass die erste Summe die selben Summanden wie die zweite hat, nur das sie etwas später kommen.
Das kannst du noch mal im obigen Beispiel erkennen.
Hier ist halt auch nur wichtig, dass du erkennst, dass die Nenner "fast gleich" sind.

Notieren kann man es wie folgt.
Wir ziehen aus der ersten Summe den ersten Summanden raus. Dann lassen wir diese Summe für k=2 starten, und schreiben den ersten Summand (also die 1) explizit hin.

$\begin{eqnarray*} =\frac12\left(1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k+1}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt die zweite wichtige "Idee" in dieser Rechnung, nämlich die Indexverschiebung.
Unsere erste Summe startet bei k=2. Wir wollen sie jetzt aber wieder bei k=1 starten lassen.
Also:

Zitat:

=\frac{1}{2}\left(1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2(k+1)-1}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k+1}\right)

Was ist hier passiert?

Wir haben den Index der ersten Summe um eins nach vorne verschoben (von k=2 auf k=1).
Dann müssen wir den Ausdruck über den wir summieren anpassen, und auch wann wir aufhören.
Was vorher $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ war, ist nun $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ .
Das macht Sinn, weil wir wollen ja keinen extra Summanden dazumogeln.
Wenn wir einfach von k=2 auf k=1 verschieben und den Endwert nicht verändern, dann würden wir ja einen Summanden extra haben, welcher vorher nicht da war.

Den Ausdruck in der Summe passt man so an, dass wir nun ja die Summanden "eins früher" erreichen müssen. Wir müssen ja nun wenn wir k=1 einsetzen für den Ausdruck das herausbekommen, was wir sonst für k=2 herausbekommen hätten.

Aber nun wird ein Schuh draus, denn hier siehst du nun anhand der Rechnung das, was wir uns gerade am Beispiel schon klar gemacht haben.
Die Summen sind nun nämlich fast gleich. Der einzige Unterschied ist, dass die zweite Summe einen Summanden mehr hat. Nämlich den letzten.

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2n}{2(2n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn du also aus dieser Rechnung etwas mitnehmen möchtest, dann die Begriffe:

Paritalbruchzerlegung, Teleskopsumme und Indexverschiebung

Die vollständige Induktion ist allerdings wohl einfacher und auch schneller, weil man bei der Induktion kaum überlegen muss.
Diese Rechnung zeigt aber sehr schön wie der Summenwert entsteht und enthält ein paar ganze wichtige Gedanken/Rechenmethoden, welche du unbedingt beherrschen solltest.

04.08.2015, 20:14

RavenOnJ

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RE: Vollständige Induktion n/2n+1

Zitat:

Original von Matherial

Auf einen Nenner gebracht: und stehe nun hier auf der Stelle:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(2n+1)(2n+3)+2n+1}{(2n+1)(2n+1)(2n+3)} = \frac{n+1}{2n+3} \end{eqnarray*}$

Du scheinst beim Bruch-auf-den-Hauptnenner-bringen irgendeinem Schema F zu folgen, ohne genau hinzugucken, wo man wie erweitern muss. Denn man kann es sich einfacher machen, indem man nur die notwendigen Erweiterungen vornimmt. Du solltest bemerkt haben, dass in beiden Brüchen auf der linken Seite der Gleichung ein Faktor 2n+1 im Nenner steht. Also ist

$\begin{align*} \frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)} =\frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)} \end{align*}$

Wenn du jetzt berücksichtigst, dass
$\begin{align*} 2n^2+3n+1= (2n+1)(n+1) \end{align*}$ ,

dann löst sich alles in Wohlgefallen auf:

$\begin{align*} \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)} =\frac{n+1}{2n+3}=\frac{n+1}{2(n+1)+1} \end{align*}$

und das ist genau das, was du haben wolltest.

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