Konvergenz mit Quotientenkriterium nachweisen

04.08.2015, 13:45

pina_93

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Konvergenz mit Quotientenkriterium nachweisen

Meine Frage:
A: Wie lautet das allgemeine Glied der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{2}{1!} \frac{5}{2!} \frac{8}{3!} \frac{11}{4!} \frac{14}{5!} \end{eqnarray*}$
B: Weisen Sie mittels des Quotienten-Kriteriums nach, dass die Folge konvergiert.

bei A habe ich $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{3n-1}{n!} \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich Probleme bei dem Quotientenkriterium...

Meine Ideen:
ich habe $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gebildet, dann $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1} }{a_{n} } \end{eqnarray*}$ und dann mit dem Kehrwert multipliziert und alles auf einen Bruchstrich gezogen

$\begin{eqnarray*} \frac{3(n+1)-1*n!}{(n+1)!*3n-1} \end{eqnarray*}$

weiter komme ich leider nicht, ich weiß nicht wie und ob ich kürzen soll/kann...
kann mir jemand helfen?

04.08.2015, 13:48

klarsoweit

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RE: Konvergenz mit Quotientenkriterium nachweisen

Zitat:

Original von pina_93
$\begin{eqnarray*} \frac{3(n+1)-1*n!}{(n+1)!*3n-1} \end{eqnarray*}$

Klammersetzung ist eine Zier und in der Mathematik kommt man auch nicht weiter ohne ihr. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{(3(n+1)-1) \cdot n!}{(n+1)! \cdot (3n-1)} \end{eqnarray*}$

Bei den Fakultäten kannst du jetzt einiges kürzen.

04.08.2015, 14:01

pina_93

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RE: Konvergenz mit Quotientenkriterium nachweisen
erst einmal danke für die schnelle Antwort!

Meinst du das so?

$\begin{eqnarray*} \frac{3(n+1)-1}{(n+1)*(3n-1)} \end{eqnarray*}$

04.08.2015, 14:09

klarsoweit

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RE: Konvergenz mit Quotientenkriterium nachweisen
Genau (im Zähler kannst du noch etwas zusammenfassen).
Jetzt bildest du den Grenzwert für n gegen unendlich.

04.08.2015, 14:31

pina_93

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RE: Konvergenz mit Quotientenkriterium nachweisen
ok, das verstehe ich, aber ich bin verwirrt, die Reihe konvergiert doch nicht oder?

04.08.2015, 14:56

klarsoweit

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RE: Konvergenz mit Quotientenkriterium nachweisen
Doch, die Reihe konvergiert. Wieso die Zweifel?

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05.08.2015, 14:44

pina_93

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RE: Konvergenz mit Quotientenkriterium nachweisen
wenn ich verschiedene große Werte einsetze, kommt immer etwas mit 1 raus verwirrt

verwirrt

, tut mir leid das ich jetzt erst antworte! Irgendwie wurde bei mir keine Aktualisierung angezeigt :/

05.08.2015, 14:46

klarsoweit

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RE: Konvergenz mit Quotientenkriterium nachweisen
Ähh, wo setzt du was ein? verwirrt

verwirrt

05.08.2015, 14:49

pina_93

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RE: Konvergenz mit Quotientenkriterium nachweisen
muss ich nicht für n = "unendlich" einsetzten?

05.08.2015, 15:07

klarsoweit

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RE: Konvergenz mit Quotientenkriterium nachweisen
Da man mit unendlich nicht rechnen kann, ist das schwerlich möglich. Ich weiß jetzt auch nicht so richtig, worauf du hinaus willst.

05.08.2015, 15:15

pina_93

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RE: Konvergenz mit Quotientenkriterium nachweisen
ich habe ja jetzt die Funktion und muss den Grenzwert ermitteln, ich dachte dass man bei dem Quotientenkriterium dann eine sehr große Zahl für n einsetzten muss und wenn das Ergebnis <0 ist konvergiert die Reihe :/

05.08.2015, 15:57

klarsoweit

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RE: Konvergenz mit Quotientenkriterium nachweisen
Mir scheint, es gibt ein generelles Verständnisproblem.

Erstmal haben wir eine Folge a_n: $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{3n-1}{n!} \end{eqnarray*}$ .

Das nun angewendete Quotientenkriterium beantwortet die Frage, ob die zugehörige Reihe $\begin{eqnarray*} s_n := \sum_{k=1}^{n} \frac{3k-1}{k!} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Da $\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert (was du noch nicht gezeigt hast), ist zum einen die Reihe s_n konvergent, woraus dann zum anderen folgt, daß die Folge der Summanden a_n konvergiert und zwar gegen Null.

05.08.2015, 16:25

HAL 9000

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Eine generelle Anmerkung zum Thema "Quotientenkriterium" in Bezug auf Folgen vs. Reihen:

Sei $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ eine Folge positiver Zahlen.

Das Quotientenkriterium für die Reihe $\begin{align*} \sum_n a_n \end{align*}$ fordert ja $\begin{align*} \limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 \end{align*}$ , bzw. äquivalent formuliert: Die Existenz eines $\begin{align*} q<1 \end{align*}$ und $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ , so dass $\begin{align*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq q \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq n_0 \end{align*}$ gilt.

Für die Existenz des Grenzwertes der Folge (!) $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ kann man diese hinreichende Bedingung noch abschwächen: Hier reicht bereits die Existenz eines $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ , so dass $\begin{align*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq 1 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq n_0 \end{align*}$ gilt. Das bedeutet dann nämlich, dass $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ monoton fallend ist, was zusammen mit der Beschränktheit nach unten durch den Wert 0 für die Konvergenz bereits ausreicht. Wohlgemerkt für die Konvergenz der Folge, nicht für die Konvergenz der Reihe $\begin{align*} \sum_n a_n \end{align*}$ .

05.08.2015, 17:22

pina_93

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ok.... also ich muss nachweisen das $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1} }{a_{n} } \end{eqnarray*}$ gegen 0 läuft, das wollte ich ja machen, in dem ich für n einen anderen Wert einsetze, das hat nicht geklappt.
Ich verstehe nicht ganz wie ich das machen soll unglücklich

unglücklich

05.08.2015, 17:31

HAL 9000

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Du warst doch schon bei $\begin{align*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3(n+1)-1}{(n+1)(3n-1)} \end{align*}$ , und für diesen Term kannst du die Nullfolgeneigenschaft nicht nachweisen? verwirrt

verwirrt

Wirklich noch nie derartige Folgen betrachtet, die aus einem gebrochen rationalen Term in $\begin{align*} n \end{align*}$ bestehen? Schwer vorstellbar.

05.08.2015, 17:50

pina_93

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ich war bist jetzt immer der Meinung das man für die Konvergenz untersuchen muss was passiert wenn n gegen unendlich läuft und bei der Untersuchung ergibt sich bei mir ein Wert größer als 1, was ja offensichtlich falsch ist. Also scheint mein Vorgehen bis jetzt ja allgemein falsch gewesen zu sein.. Leider haben wir kein Skript für das Fach und ich muss mir das irgendwie selber zusammen suchen

05.08.2015, 18:24

Seppelkoi

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Um vielleicht auch mal was zurück zu geben, indem ich jemandem versuche zu helfen (die Betonung liegt auf "versuchen"):

$\begin{eqnarray*} \frac{3n+3}{3n^2+2n-1} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{3n+3}{3n^2+2n-1} = 0 \end{eqnarray*}$

weil die Funktion unterm Bruchstrich schneller fällt als die überm Bruchstrich, da sie einen höheren Rang hat.

So wäre meine Argumentation.

05.08.2015, 18:30

Seppelkoi

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Die Funktion steigt natürlich schneller... sry

05.08.2015, 19:03

pina_93

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ja, das verstehe ich! Danke! Ich hab das unten nicht ausmultipliziert des wegen bin ich nicht auf die Potenz gekommen, vielen Dank!

06.08.2015, 09:18

klarsoweit

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Solche Begriffe wie "steigt schneller" sind - jedenfalls im Moment - mathematisch nicht sauber definiert. Insofern läßt sich darauf kein sauberer Beweis aufbauen. Üblicherweise kürzt man den Bruch mit der höchsten Potenz im Nenner und nutzt dann bekannte Grenzwerte bzw. Grenzwertregeln.

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