Injektivität zeigen |
05.08.2015, 13:06 | lule | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Injektivität zeigen Gegeben sei die Abbildung: Aufgabe: Untersuchen Sie die Abbildung auf Injektivität und Surjektivität. Ich scheitere schon bei der Injektivität. Meine Ideen: Also ich vermute, dass diese Abbildung Injektiv ist. Habe schon einige Zahlen ausgerechnet wobei mir etwas aufgefallen ist, 18 = 2 * 9 19 = 1 * 19 20 = 4 * 5 21 = 1 * 21 22 = 2 * 11 Der erste Faktor ist immer gerade, der zweite immer ungerade und zum berechnen einer Zahl wird entweder der erste Faktor 1 (bei ungeraden Zahlen) oder der zweite Faktor wird zu einem ungeraden Teiler der Zahl. Nun weiß ich nicht ob mir dies weiter hilft und wenn doch, in wie fern es mir weiter hilft. Eine andere Idee wäre zu sagen: beliebig. Und hier sieht man, dass das zu wählende y immer von x und a abhängt und so nicht unabhänging sondern nur in einer bestimmten Kombination wählbar ist und p deshalb injektiv sein muss. Doch das erscheint mir doch sehr unmathematisch und unsauber, ich stehe hier etwas auf dem Schlauch und freue mich über eure Hilfe. |
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05.08.2015, 13:13 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Injektivität zeigen Seien und sei oBdA . Angenommen, es gilt Es folgt Vereinfache und verfolge deine Gedanken zu gerade/ungerade weiter. Was muss für x und n gelten, damit die Gleichung überhaupt noch korrekt sein kann? Und dann: Was muss für y und m gelten? |
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05.08.2015, 13:21 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Injektivität zeigen
Das stimmt nicht ganz, denn ist nicht gerade. Jede positive ganze Zahl lässt sich in einen Faktor der Form und einen ungeraden Faktor aufspalten. Insofern führen deine Überlegungen durchaus weiter. Jetzt musst du nur noch zwei verschiedene Paare benutzen und zeigen, dass die zwei unterschiedliche Zahlen ergeben. |
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05.08.2015, 16:17 | lule | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Injektivität zeigen So wenn ich nun die linke seite etwas vereinfache: Und nun hab ich mir überlegt, der Ausdruck : kann entweder gerade ( x > n) oder aber = 1 sein ( x = n ). Der Ausdruck kann aber nur zutreffen, wenn gilt und dann ist auch y = m denn . So bald x > n , gilt : Sei Daraus folg dann : und diese Gleichung kann nicht erfüllt werden. Mit dem Hintergrund, dass das ergebnis eine Natürliche Zahl sein muss. Und damit wäre man doch dann am ende oder ? |
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05.08.2015, 16:19 | lule | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Injektivität zeigen *EDIT* @RavenOnJ Du hast natürlich recht 2^0 ist nicht gerade, da habe ich nicht aufgepasst. |
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05.08.2015, 16:47 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Injektivität zeigen Du meinst das richtige, ich würde es aber anders ausdrücken. Man sollte nicht schreiben "So bald x > n , gilt ..." (mal abgesehen davon, dass es "sobald" heißt, aber auch dieses temporale Wort ist hier fehl am Platz). Ich würde schreiben: "Sei o.B.d.A. " Damit führst du keinen Beweis durch Widerspruch, sondern zeigst, dass diese Annahme zwingend zu x=n führen muss. Dann schreibst du
Da wäre es dann sinnvoller zu schreiben: "Diese Gleichung kann nur erfüllt werden mit k=0, d.h. x=n, und y=m." EDIT: Noch eine Anmerkung: Die Annahme kann man auch fallen lassen, dann kann k:= x-n auch negativ sein. Das Ergebnis ist dasselbe, es muss k=0 sein. --------------------------------- Fehlt dann noch die Surjektivität. |
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05.08.2015, 17:07 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann übrigens auch gleich bei bleiben und mit der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung argumentieren. |
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06.08.2015, 11:02 | lule | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Hal 9000 Über die Primfaktorzerlegung würde ich nicht gerne gehen, weil das noch nicht in der Vorlesung war. So aber nun zur Surjektivität. Ich habe mir gedacht ich teile wieder in gerade/ungerade und sage: 1. Fall ungerade Zahlen. Sei Es folgt durch diesen Ausdruck lassen sich alle natürlichen ungeraden Zahlen darstellen. 2.Fall gerade Zahlen (hier hänge ich etwas) Ich dachte mir Es gilt sei und Es folgt da immer ungerade ist, können durch alle geraden Zahlen abgebildet werden. Bin ich so etwa in der richtigen Richtung ? |
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06.08.2015, 11:47 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Seltsame Begründung: Zumindest was Primfaktor 2 betrifft, brauchst du diese Eindeutigkeit hier - egal welchen Weg du auch immer hier nimmst. |
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06.08.2015, 12:39 | lule | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was mein Problem ist, Primfaktorzerlegung hatten wir noch nicht das ist teil des nächsten Semsters. Deshalb fange ich damit relativ wenig an um ehrlich zu sein. |
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06.08.2015, 12:56 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bist du sicher, dass ihr das nicht schon behandelt habt? Der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung heißt nicht umsonst "Fundamentalsatz der Arithmetik"! Außerdem dachte ich, dass so was schon in der Schule angesprochen wird. |
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06.08.2015, 13:08 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ehrlich gesagt verstehe ich nicht so ganz, was du da machst. Was soll das mit dem k und dem t? Es sollte dir eigentlich bekannt sein, dass man jede gerade Zahl als Produkt einer Zweierpotenz (mit Exponent >0) und einer ungeraden Zahl schreiben kann. (Dass dieses Produkt eine eindeutige Zerlegung ist, tut für den Beweis der Surjektivität nichts zur Sache.) Damit wäre der Fisch schon fast gegessen. |
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06.08.2015, 14:34 | lule | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein in der Schule haben wir das leider nicht behandelt Und nächstes Semester haben wir Zahlentheorie wo das mit ziemlicher Sicherheit dran kommen wird. Aber ich kehre erstmal zurück zu Aufgabe. Mit dem k und dem t wollte ich einfach deutlicher zeigen, dass es sich um eine gerade Zahl handelt. Du sagst, dass man jede gerade Zahl als Produkt einer Zweierpotenz (mit Exponent >0) und einer ungeraden Zahl schreiben kann. Wenn ich das aber als gegeben nehme, dann erübrigt sich doch der Beweis oder etwa nicht ? |
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06.08.2015, 15:28 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Beweis erübrigt sich nicht, aber das wäre er dann im Wesentlichen. |
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07.08.2015, 14:33 | lule | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut, dann bedanke ich mich für eure Hilfe Bis demnächst |
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