Integration mit Bruch

05.08.2015, 14:22

ChrizZly1

Integration mit Bruch

Meine Frage:
Hallo,
Ich soll folgende Integral berechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+3x}{(1+x^2)(2+x)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe an die Partialbruchzerlegung hier gedacht.
die Nullstellen wären hier ja dann:
x1=-2
x2=i
x3=-i
Also habe ich eine reele und 2 komplexe Nullstellen. wie gehe ich nun weiter vor?

Im Workshop gibt ein recht ähnliches Beispiel [WS] Partialbruchzerlegung (4.3).
Jedoch habe ich noch einige Fragen dazu:

Wieso wird dieseransatz gewählt? $\begin{eqnarray*} \frac{x^2-1}{(x+2)(x^2+1)}=\frac{a}{x+2}+\frac{bx+c}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Wäre es nicht der selbe Ansatz bei einer Reelen Nullstelle (x^2-1) ?

Was ist jetzt an der komplexen Nullstelle so besonders?

Dann habe ich nach dem Prinzip weiter gemacht und mit dem Koeffizientenvergleich folgende Werte herausbekommen: A=-4/3 B=7/3 und C= 2/3

Also ist das integral bei mir nun:

$\begin{eqnarray*} \int \! -\frac{4}{3}\frac{1}{x+2} + \frac{\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}}{x^2+1} \, dx \end{eqnarray*}$

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

Der erste Teil ist ja ganz einfach -4/3*ln(x+2).

Wie würde dann noch den zweiten Teil bestimmen?

05.08.2015, 14:33

HAL 9000

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Für den zweiten Term benötigst du die beiden Integrale (Integrationskonstante lass ich mal weg)

$\begin{align*} \int \frac{2x}{x^2+1} ~ \dd x = \ln(x^2+1) \end{align*}$

$\begin{align*} \int \frac{1}{x^2+1} ~ \dd x = \arctan(x) \end{align*}$ .

05.08.2015, 14:56

ChrizZly1

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ähm, moment. Wie bist du auf diese beiden Integrale gekommen,

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{5}{3}\frac{2x}{x^2+1} \, dx \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2}{3}\frac{1}{x^2+1} \, dx \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} \int \frac{1}{x^2+1} ~ \dd x = \arctan(x) \end{align*}$ .

Wie kommt man darauf? Weiß man das einfach oder kommt man auf so etwas irgendwie?

05.08.2015, 15:01

HAL 9000

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Und wieder die unselige "Wie kommt man darauf"-Frage
$\begin{align*} \int \frac{2x}{x^2+1} ~ \dd x \end{align*}$ ist ein Beispiel für die allgemeinere logarithmische Integration $\begin{align*} \int \frac{g'(x)}{g(x)} ~ \dd x = \ln|g(x)| \end{align*}$ , angewandt auch $\begin{align*} g(x)=x^2+1 \end{align*}$ .

Und $\begin{align*} \int \frac{1}{x^2+1} ~ \dd x = \arctan(x) \end{align*}$ kann man wohl mit Fug und Recht als Grundintegral bezeichnen - was willst du da noch "herunterbrechen"?

05.08.2015, 15:18

ChrizZly

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RE: Und wieder die unselige "Wie kommt man darauf"-Frage
Dann habe ich es soweit.

Könnte mir noch jemand diese Frage beantworten?

Zitat:

Wieso wird dieseransatz gewählt? $\begin{eqnarray*} \frac{x^2-1}{(x+2)(x^2+1)}=\frac{a}{x+2}+\frac{bx+c}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ Wäre es nicht der selbe Ansatz bei einer Reelen Nullstelle (x^2-1) ? Was ist jetzt an der komplexen Nullstelle so besonders?

05.08.2015, 16:41

HAL 9000

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Prinzipiell kannst du auch z.B. bei

$\begin{align*} \frac{x^2+1}{(x+2)(x^2-1)} = \frac{a}{x+2} + \frac{bx+c}{x^2-1} \end{align*}$

so ansetzen, und dabei

$\begin{align*} \int \frac{2x}{x^2-1} ~ \dd x = \ln(x^2-1) \end{align*}$

und

$\begin{align*} \int \frac{1}{x^2-1} ~ \dd x = \begin{cases} -\operatorname{artanh}(x) &\;\mbox{für}\; |x|<1 \\ -\operatorname{arcoth}(x) &\;\mbox{für}\; |x|>1 \end{cases} \end{align*}$

nutzen. Aber es geht eben auch über

$\begin{align*} \frac{bx+c}{x^2-1} = \frac{d}{x-1} + \frac{e}{x+1} \end{align*}$

mit passenden Konstanten $\begin{align*} d,e \end{align*}$ und dann "normal" per Integration zum Logarithmus.

Dieser Weg rein im Reellen ist bei Nenner $\begin{align*} x^2+1 \end{align*}$ versperrt, und beim Umweg übers Komplexe und damit dann den komplexen Logarithmus sollte man schon wissen, was man tut, z.B. wie dann der Arkustangens als Stammfunktion hereinkommt. smile

05.08.2015, 18:58

ChrizZly1

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Ach.ok. Vielen Dank.ha mir auf jeden Fall sehr geholfen

16.08.2015, 16:49

mYthos

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Und bitte schreibe reell richtig, also mit 2 "l"

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