Optional Sampling und Optional Stopping

05.08.2015, 14:59	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Optional Sampling und Optional Stopping Guten Tag! Es geht um nachfolgende Übungsaufgabe aus dem Buch von Herrn Klenke (Übung 10.2.1): Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein quadratisch integrierbares Martingal mit quadratischem Variationsprozess $\begin{eqnarray} \langle X\rangle \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ eine endliche Stoppzeit. Man zeige: (i) Ist $\begin{eqnarray} E[\langle X\rangle_\tau] < \infty \end{eqnarray}$ , so gilt $\begin{eqnarray} E[(X_\tau-X_0)^2] = E[\langle X\rangle_\tau] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E[X_\tau]= E[X_0]. \end{eqnarray}$ (ii) Ist $\begin{eqnarray} E[ \langle X\rangle_\tau] = \infty \end{eqnarray}$ , so braucht keine der beiden Gleichungen zu gelten. Also: Man soll wahrscheinlich Optional Sampling oder Optional Stopping anwenden. Ich weiß aber nicht so recht, wie. Vielleicht soll man was mit dem Martingal $\begin{eqnarray} X^2-\langle X\rangle \end{eqnarray}$ machen. Man hat denke ich auch, dass $\begin{eqnarray} \langle X\rangle \end{eqnarray}$ ein nichtnegatives, monoton wachsendes Submartingal ist. Vielleicht soll man damit arbeiten. Oder was ganz anderes machen Vielen Dank schonmal!
05.08.2015, 15:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wenige, was ich mal von Martingalen wusste, ist auch noch weitgehend verschüttet gegangen, daher von mir nur ein kosmetischer LaTeX-Hinweis: $\begin{align} \langle X\rangle_{\tau} \end{align}$ kommt etwas besser rüber als das breit verschmierte $\begin{align} <X>_{\tau} \end{align}$ .
07.08.2015, 13:09	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für den außermathematischen Tipp. Für (i) ist meine bisherige Idee für alle $\begin{eqnarray} T \in \mathbb N \end{eqnarray}$ zu zeigen, dass: $\begin{eqnarray} E[(X_{\tau\wedge T}-X_0)^2]=E[\langle X \rangle_{\tau\wedge T}] \leq E[\langle X \rangle _\tau] < \infty \end{eqnarray}$ ist. Das habe ich, denke ich. (Und dazu wendet man schonmal Optional Sampling an.) (Die zweite Aussage für beschräkte Stoppzeiten kriegt man analog hin.) Nun kommt der Knackpunkt: Wegen der Voraussetzung kann man die gewünschten Aussagen für nunmehr nur noch f.s. endliche Stoppzeiten hinkriegen. Das sollte doch über monotone Konvergenz laufen, oder? Aber wie genauer? Man lässt also $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ gehen und kriegt $\begin{eqnarray} \lim_{T\to\infty} E[(X_{\tau\wedge T}-X_0)^2] = E[\langle X \rangle _\tau] \end{eqnarray}$ , aber wie kann man den Limes auf der linken Seite reinziehen? Zu (ii) kann man eine einfache, eindimensionale, symmetrische Irrfahrt betrachten, mit der Stoppzeit beim ersten Erreichen der -1. Liebe Grüße

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