Schwieriges Integral mit Substitution

05.08.2015, 14:32

Seppelkoi

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Schwieriges Integral mit Substitution

Hi,

Ich habe folgendes Integral bekommen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{sin(x)+cos(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Idee war:

Ich substituiere u = sin(x) + cos (x), dann bekomme ich u' = cos(x) - sin(x).
Soweit so gut. Dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = cos(x) - sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{cos(x) - sin(x)} \end{eqnarray*}$

Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{u} \, \frac{du}{cos(x)-sin(x)} \end{eqnarray*}$

Frage 1:

Ist das soweit richtig?

Frage 2:

Wie geht es dann weiter? Soweit ich weiß muss ich nun das cos(x) und - sin(x) "wegmachen", indem ich das u gleichbringe mit x (um das besser verständlich zu machen: wenn ich ln(x) = u substituiere muss ich "e hoch" auf beiden Seiten rechnen, damit ich aus ln(x) ein "normales x" mache, das "e hoch u" setze ich dann ein).

Wie eliminiere ich in diesem Falls das cos(x) und - sin(x)?

$\begin{eqnarray*} u = sin(x)+cos(x) \end{eqnarray*}$ x = ?

05.08.2015, 14:47

Mathema

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Zitat:

Ich substituiere u = sin(x) + cos (x)

Ich würde es eher mal mit der Weierstraß-Substitution versuchen.

Wink

Wink

05.08.2015, 14:54

Mulder

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RE: Schwieriges Integral mit Substitution
Das führt zu nichts, was du da machst. Nach x auflösen ist da jetzt schwierig. Ich würde erstmal

$\begin{eqnarray*} \sin(x)+\cos(x) = \sqrt{2} \sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right ) \end{eqnarray*}$

vorschlagen, macht es etwas einfacher. Wenn dich die pi/4 dann stören, kannst du sie ja noch eben mit einer linearen Substitution beseitigen.

Anschließend Generalsubstitution.

Edit: Raus.

05.08.2015, 14:54

HAL 9000

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Ich würde die Weierstraß-Substitution noch leicht modifizieren - mit einer kleinen Verschiebung:

Es ist $\begin{align*} \sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \end{align*}$ , basierend auf Additionstheoremen. Substituiert man damit nun $\begin{align*} 2u = x + \frac{\pi}{4} \end{align*}$ , so folgt mit $\begin{align*} \dd x = 2 ~ \dd u \end{align*}$ dann

$\begin{align*} \int \frac{1}{\sin(x)+\cos(x)} ~ \dd x = \sqrt{2} \int \frac{1}{\sin(2u)} ~ \dd u \end{align*}$ .

Warum $\begin{align*} 2u \end{align*}$ ? Das erklärt sich in der weiteren Umformung

$\begin{align*} \int \frac{1}{\sin(2u)} ~ \dd u = \int \frac{1}{2\sin(u)\cos(u)} ~ \dd u = \int \frac{1}{2\tan(u)\cos^2(u)} ~ \dd u = \frac{1}{2} \ln \left| \tan(u) \right| \end{align*}$ , basierend auf $\begin{align*} (\tan(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)} \end{align*}$

05.08.2015, 15:20

Mathema

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Guter Vorschlag - diese Vereinfachung habe ich nicht so schnell gesehen. Hättest du die Weierstraß-Substitution direkt angewendet, würdest du erhalten:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\sin(x)+\cos(x)} \, dx =\int \! \frac{2dt}{(\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2})\cdot (1+t^2)}=-2\int \! \frac{1}{t^2-2t-1} \, dt \end{eqnarray*}$

Auch machbar, aber durchaus schwieriger.

05.08.2015, 15:34

Seppelkoi

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Also nur noch mal zu meinem Verständnis:

Diese spezielle Art der Substitution verwende ich also, um trigonometrische Funktionen in Integralen zu eliminieren, damit ich dann normal weiter rechnen kann, richtig?

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05.08.2015, 15:46

HAL 9000

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Wenn "normal weiterechnen" bedeutet, dass du es nach dieser Substitution dann "nur" noch mit einem rationalen Integranden zu tun hast, dann hast du Recht. Und für diese Art Integranden gibt es ja eine vollständige Anleitung zur Integration.

05.08.2015, 16:12

Seppelkoi

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So ich hab mal gerechnet (allerdings auf die "Standardmethode"):

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{sin(x)+cos(x)} \, dx = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{2dt}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t^3}{1+t^2}+\frac{t^2-t^4}{1+t^2} } \, = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{2dt}{\frac{2t+1+2t^3-t^4}{1+t^2}} \, = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{2dt}{\frac{t(2+2t^2-t^3)+1}{1+t^2}} \, = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{2dt}{\frac{t^2(2-t)+2+1}{1+t}} \, = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{2dt}{\frac{2t-t^2+3}{1}} \, \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Fehler? Ich bin schon mal sehr froh, dass ich wenigstens in die Nähe des Ergebnisses gekommen bin smile

smile

05.08.2015, 16:46

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{2dt}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t^3}{1+t^2}+\frac{t^2-t^4}{1+t^2} } \, = \end{eqnarray*}$

Hast du meinen Post gelesen? Ich hatte dir doch den gesamten Weg schon notiert (hätte ich vll nicht machen sollen - sorry). Mir scheint aber nicht so. Oder wieso multiplizierst du hier die Klammer aus und kürzt nicht, wie ich es gemacht habe.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{2dt}{\frac{t(2+2t^2-t^3)+1}{1+t^2}} \, = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{2dt}{\frac{t^2(2-t)+2+1}{1+t}} \, = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{2dt}{\frac{2t-t^2+3}{1}} \, \end{eqnarray*}$

Was du hier gemacht hast kann ich leider nicht nachvollziehen. verwirrt

verwirrt

06.08.2015, 09:02

Seppelkoi

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Mein Problem ist, dass ich die Grundlagen der mathematischen Sprache in der Schule nie wirklich gelernt habe. (fragt bitte nicht nach meiner Schulform)

Wie ich nun feststelle, kann ich wohl nicht richtig kürzen. Es würde mir helfen, wenn du nicht einfach ein Ergebnis hinklatschst, sondern vll eher zeigst, wie du das was mit wem kürzt. Ich habe wie du richtig erkannt hast einfach die Klammer ausmultipliziert und wollte dann weiter vereinfachen, weil ich die von dir angewandte Technik nicht beherrsche.

Auch in meinen anderen Postings fällt mir auf, dass ich sehr oft oder eigentlich immer an den Aufgaben scheitere, weil ich nicht richtig vereinfachen kann. Kann mir jemand Tipps geben, wie man da ein bisschen Routine bekommt?

Bei nahezu jedem Post hier von mir (ich hab mich nie registriert, bin aber oft hier) ist der Ansatz richtig, aber ich bekomme den Kram einfach nicht gescheit umgeschrieben.

06.08.2015, 10:06

Mathema

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Zitat:

Es würde mir helfen, wenn du nicht einfach ein Ergebnis hinklatschst, sondern vll eher zeigst, wie du das was mit wem kürzt.

Bei allem Respekt, aber wir sind hier immer noch im Hochschulforum. Da wird man wohl ein wenig Eigenständigkeit erwarten dürfen. Wenn du es nicht gleich verstehst, dann denke nach und versuche es nachzuvollziehen. Ich klatsche sicher kein Ergebnis hin, sondern denke mir schon was dabei, da kannst du sicher sein.

Oder soll ich etwa so schreiben?

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2dt}{(\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2})\cdot (1+t^2)} \end{eqnarray*}$

Jetzt addiere ich die Brüche. Sie haben schon identische Nenner, also behalte ich den Nenner bei und addiere die Zähler.

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2dt}{\frac{2t+1-t^2}{1+t^2}\cdot (1+t^2)} \end{eqnarray*}$

Jetzt kürze ich $\begin{eqnarray*} (1+t^2) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2dt}{2t+1-t^2} \end{eqnarray*}$

Nun klammere ich im Nenner $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ aus und schreibe sie in den Zähler. Zudem sortiere ich im Nenner um:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{-2dt}{t^2-2t-1} \end{eqnarray*}$

Nun ziehe ich den konstanten Faktor $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ vor das Integral:

$\begin{eqnarray*} -2\int \! \frac{1}{t^2-2t-1} \, dt \end{eqnarray*}$

Ich denke nicht. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Mein Problem ist, dass ich die Grundlagen der mathematischen Sprache in der Schule nie wirklich gelernt habe.

Na klar - ich habe ja in einem anderen Thread von dir schon gelesen, dass du nicht gut auf deine Lehrer zu sprechen bist... Oder liegt die Betonung hier auf dem Wort "ich", das wäre wohl der bessere Ansatz.

Wink

Wink

06.08.2015, 16:16

Seppelkoi

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Noch etwas Ergänzendes dazu:

Ich bin leider nicht auf eine höhere Schulform gegangen und muss mir das, was für dich einfach und logisch ist, mühsam erarbeiten.

Sei doch lieber froh, dass ich es genau wissen möchte.

06.08.2015, 16:25

HAL 9000

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Es ist wohl weniger die Unfähigkeit, sondern eher deine widerlichen Umgangsformen, die eine große Anzahl Helfer wohl nun das Weite suchen lässt. Zu schade, dass du all denen dafür nicht eine "aufs Maul hauen" kannst.

06.08.2015, 16:55

Mathema

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Zitat:

Witzig, dass du dich sofort angegriffen fühlst.

Wieso ist das witzig?

Zitat:

Das leite ich vor allem daraus ab (badumm ts), dass du nun mit Dreck um dich wirfst.

Wo werfe ich bitte mit Dreck um mich? Ich habe dir nur Nahe gelegt, nicht nur die Schuld bei anderen zu suchen. Aber das widerstrebt dir ja anscheinend.

Zitat:

Schade, aber jedem das seine. Du brauchst ja nicht mehr Antworten, wenn dir meine Unfähigkeit nicht passt.

Dazu hat HAL sich ja schon geäußert. Viel mehr gibt es dazu wohl nicht mehr zu sagen. Nur so viel:

Ich bin froh, wenn jemand es genau wissen möchte. Aber anstatt hierauf

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{2dt}{\frac{t(2+2t^2-t^3)+1}{1+t^2}} \, = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{2dt}{\frac{t^2(2-t)+2+1}{1+t}} \, = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{2dt}{\frac{2t-t^2+3}{1}} \, \end{eqnarray*}$

Was du hier gemacht hast kann ich leider nicht nachvollziehen.

eine Erklärung zu liefern, wie du da vereinfacht hast, kommen ja nur wieder Schuldzuweisungen an die ach so blöde Schule.

PS: Ich habe erst jetzt erkannt, was du da gemacht hast - und du hast recht, es liegt wirklich am Kürzen. Du kürzt direkt in die Summe - und das ist strikt verboten. Merkspruch (bitte nicht angegriffen fühlen, den bekommen auch so meine Quintaner):

In Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen!

Damit verabschiede ich mich denn an dieser Stelle.

Wink

Wink

07.08.2015, 09:46

Seppelkoi

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Meine widerlichen Umgangsformen, wie sie hier beschrieben werden, kommen in einem nicht unerheblichen Maße von meiner Verzweiflung.

07.08.2015, 10:23

Seppelkoi

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Darüber hinaus stimmt es natürlich, was ihr sagt.

Ich möchte mich für mein scheiß Benehmen entschuldigen, aber ich hab einfach das Gefühl ich kann noch nicht mal 1+1 rechnen, und das macht mich fertig.

07.08.2015, 10:28

Mathema

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Alles klar - damit ist das Thema dann auch erledigt und ich würde dir anbieten, dass wir die Aufgabe hier zu Ende bringen, sofern du das noch möchtest?

08.08.2015, 09:37

Seppelkoi

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Ok, ich komme jetzt dank deiner ausführlichen Beschreibung des Kürzens auf das selbe Ergebnis, wie du.
Das Problem war, dass ich nicht daran gedacht habe, dass $\begin{eqnarray*} (1+t^2)=\frac{(1+t^2)}{1} \end{eqnarray*}$ und man da somit ganz leicht kürzen kann, das habe ich übersehen.

Ich habe dann mal weiter gemacht:

Dass unterm Bruchstrich eine binomische Formel steht, habe ich erkannt, also:

$\begin{eqnarray*} -2*\int_{}^{} \! \frac{1}{t^2+2t+1} \, dt = -2*\int_{}^{} \! \frac{1}{(t+1)^2} \, dt \end{eqnarray*}$

Daraus habe ich dann

$\begin{eqnarray*} -2*(-\frac{1}{t+1} ) \end{eqnarray*}$ gemacht.

Wie das jetzt aber mit dem Rücksubstituieren bei dieser Art der Substitution klappt, weiß ich leider nicht. Ich habe ja keinen Ausdruck mehr, der sin(x) oder cos(x) darstellt, oder?

08.08.2015, 09:51

Mathema

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So leicht geht es leider nicht, da warten noch einige Klippen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mein Ergebnis war:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\sin(x)+\cos(x)} \, dx =\int \! \frac{2dt}{(\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2})\cdot (1+t^2)}=-2\int \! \frac{1}{\textcolor{red}{t^2-2t-1}} \, dt \end{eqnarray*}$

Und das ist leider keine binomische Formel. Viel mehr müssen wir nun erneut substituieren. Eine Idee?

08.08.2015, 10:12

Seppelkoi

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Oh man, ich hab nun gerafft, wie du das mit der -1 ausklammern meinst... Deswegen kehren sich alle Vorzeichen unterm Bruchstrich dann um und 2/(-1) = -2 ziehst du dann raus.

Ich würde erstmal $\begin{eqnarray*} t^2-2t-1=u \end{eqnarray*}$ substituieren. Ob das eine gute Idee ist, weiß ich aber nicht, denn ich bekomme dann:

$\begin{eqnarray*} -2* \int_{}^{} \! \frac{1}{u} \, \frac{du}{2t-2} \end{eqnarray*}$

Wie ich da jetzt das 2t-2 weg bekomme, fällt mir nicht ein.

08.08.2015, 10:16

Mathema

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Zitat:

Wie ich da jetzt das 2t-2 weg bekomme, fällt mir nicht ein.

Nun - du müsstest deine Substitutionsgleichung nach t auflösen und einsetzen, und daran merkst du schon, dass diese Substitution eher ungeeignet ist. Substituiere mal $\begin{eqnarray*} t=u+1 \end{eqnarray*}$ .

Was erhältst du?

08.08.2015, 10:33

Seppelkoi

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Das kommt raus:

$\begin{eqnarray*} -2*\int_{}^{} \! \frac{1}{(u+1)^2-2(u+1)-1} \, du \end{eqnarray*}$

Dann habe ich durch vereinfachen

$\begin{eqnarray*} -2*\int_{}^{} \! \frac{1}{u^2+2} \, du \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u^2+1} = atan(u) \end{eqnarray*}$
aber knapp vorbei ist leider auch daneben Hammer

Hammer

08.08.2015, 10:43

Mathema

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Du bist leider bei deinem Ergebnis knapp vorbei. Es ist:

$\begin{eqnarray*} -2\int_{}^{} \! \frac{1}{(u+1)^2-2(u+1)-1} \, du=-2\int_{}^{} \! \frac{1}{u^2+2u+1-2u-2-1} \, du=-2\int_{}^{} \! \frac{1}{u^2\textcolor{red}{-}2} \, du \end{eqnarray*}$

So - nun sind wir schon ein gutes Stück weiter. Dieses Integral könnten wir durch PBZ oder eine weitere (trigonometrische) Substitution lösen, wie ich kürzlich erst hier ausgeführt habe. Es lohnt sich aber folgendes im Kopf zu haben:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{x^2-a^2} \, dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}| \end{eqnarray*}$

Ich würde also vorschlagen, du benutzt mal diesen Ansatz um weiter zu machen und wenn du mal Zeit hast, guckst du dir zur Übung noch mal die 2 Ansätze aus dem anderen Thread an. Einverstanden? Na dann mal los...

08.08.2015, 11:25

Seppelkoi

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Also, ich habe:

$\begin{eqnarray*} -2*\int_{}^{} \! \frac{1}{u^2-2} \, du = \int_{}^{} \! \frac{1}{u^2-(\sqrt{2})^2 } \, dx \end{eqnarray*}$

Damit dann:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\sqrt{2} } ln(\frac{|u-\sqrt{2}| }{|u+\sqrt{2|} }) \end{eqnarray*}$

Und das wieder zurück nach t ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } ln(\frac{|t-1-\sqrt{2}| }{|t-1+\sqrt{2} |} ) \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich aber noch t zurück substituieren oder? Ich sehe immer noch keinen Ausdruck, der ganz am Anfang für die WS Substitution benutzt wurde, oder brauche ich das überhaupt?

08.08.2015, 11:27

Seppelkoi

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Hinter das Gleichheitszeichen muss übrigens noch ein MINUS... hab das vergessen.

08.08.2015, 11:29

Mathema

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Sieht gut aus - nur ein kleiner Vorzeichenfehler:

$\begin{eqnarray*} = \textcolor{red}{-}\frac{1}{\sqrt{2} } ln(\frac{|u-\sqrt{2}| }{|u+\sqrt{2|} }) \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{\sqrt{2} } ln(\frac{|t-1-\sqrt{2}| }{|t-1+\sqrt{2} |} ) \end{eqnarray*}$

Die Weierstraß-Substitution lautet doch:

$\begin{eqnarray*} \tan(\frac{x}{2})=t \end{eqnarray*}$

Und damit kannst du doch deine Resubstitution durchführen. Was erhältst du also?

edit: OK - Vorzeichenfehler selbst erkannt. Freude

Freude

edit 2: War wohl nur ein Tippfehler, aber es muss natürlich lauten:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -2*\int_{}^{} \! \frac{1}{u^2-2} \, du = \textcolor{red}{-2}\int_{}^{} \! \frac{1}{u^2-(\sqrt{2})^2 } \, d\textcolor{red}{u} \end{eqnarray*}$

08.08.2015, 11:47

Seppelkoi

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$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\sqrt{2} } ln(\frac{|tan\frac{x}{2} -1-\sqrt{2}| }{|tan\frac{x}{2} -1+\sqrt{2} |} ) \end{eqnarray*}$

Ich war grad etwas irritiert, da ich nach Ausdrücken für Sinus und Cosinus gesucht und nicht einfach das t angeschaut habe.

Ist das dann jetzt fertig?

Oh man, ich bin gerade so glücklich, dass ich das mit viel Hilfe doch irgendwie gepackt hab. Also wenn das jetzt stimmt.

Eine Frage nur noch: Wie bist du denn darauf gekommen, dass du u+1 = t substituierst? Wie sieht man sowas? Ich habe immer riesen Probleme damit, solche Dinge zu erkennen.

08.08.2015, 11:54

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\sqrt{2} } ln(\frac{|tan\frac{x}{2} -1-\sqrt{2}| }{|tan\frac{x}{2} -1+\sqrt{2} |} ) \end{eqnarray*}$

Das würde ich noch vereinfachen zu:

$\begin{eqnarray*} =\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}\ln|\frac{\tan\frac{x}{2}-1+\sqrt{2}}{\tan\frac{x}{2}-1-\sqrt{2}}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sqrt{2}arcoth(\frac{\tan\frac{x}{2}-1}{\sqrt{2}}) \end{eqnarray*}$

Und dann noch an die Integrationskonstante denken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Eine Frage nur noch: Wie bist du denn darauf gekommen, dass du u+1 = t substituierst?

Nun - das ist immer ein Stück weit Erfahrung. Du siehst ja z.B. an HAL, der jahrelange Erfahrung auf diesem (und weitaus höheren) mathematischen Niveau hat, wie sich so etwas auswirkt. Fehlt diese Erfahrung, muss man eben manchmal Umwege beschreiten, aber daraus lernt man ja schließlich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.08.2015, 12:49

HAL 9000

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Die Verbindung zur obigen Lösung

$\begin{align*} \int \frac{1}{\sin(x)+\cos(x)} ~ \dd x = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \tan\left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{8} \right) \right| + C \end{align*}$

liefert das Tangens-Additionstheorem, denn mit dem folgt unter Benutzung von $\begin{align*} \tan\left( \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{2}-1 \end{align*}$

$\begin{align*} \tan\left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{8} \right) = \frac{\tan\left( \frac{x}{2} \right) + \tan\left( \frac{\pi}{8} \right)}{1-\tan\left( \frac{x}{2} \right)\tan\left( \frac{\pi}{8} \right)} = \frac{\tan\left( \frac{x}{2} \right) + \sqrt{2}-1}{1-(\sqrt{2}-1)\tan\left( \frac{x}{2} \right)} = -(\sqrt{2}+1)\frac{\tan\left( \frac{x}{2} \right) + \sqrt{2}-1}{\tan\left( \frac{x}{2} \right)-\sqrt{2}-1} \end{align*}$ .

08.08.2015, 14:27

Seppelkoi

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Ich danke euch für eure sehr ausführliche Hilfe. Trotz der Tatsache, dass ich zu Beginn hart daneben gegriffen habe. Ich hoffe, ich darf hier weiter nachfragen.

Ich wünsche ein schönes sonniges Wochenende.

08.08.2015, 14:38

Mathema

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Zitat:

Ich danke euch für eure sehr ausführliche Hilfe.

Gerne!

Zitat:

Ich hoffe, ich darf hier weiter nachfragen.

Na klar - dafür ist dieses Forum ja da. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Ich wünsche ein schönes sonniges Wochenende.

Danke - das wünsche ich dir auch!

Wink

Wink

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