Teileranzahlfunktion

05.08.2015, 21:49

Matheversteher

Teileranzahlfunktion

Hallo alle zusammen,

ich sitze an einer Aufgabe zur Teileranzahlfunktion:

Gegeben seien die natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tau (m^2)=16 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \tau(n^2)=125 \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie alle möglichen Werte $\begin{eqnarray*} \tau(m) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \tau(n) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \tau(m^3) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \tau(n^3) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} \tau(n) \end{eqnarray*}$ habe Folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \tau(n^2)=125 = 5\cdot5\cdot 5 = 1\cdot125=5\cdot25 \end{eqnarray*}$ das Heißt ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ folgende Pfz. haben kann:
I: $\begin{eqnarray*} n^2 = p_1^4 \cdot p_2^4\cdot p_3^4 \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} n^2= p^{124} \end{eqnarray*}$
III: $\begin{eqnarray*} n^2= p_1^4 \cdot p_2^{24} \end{eqnarray*}$
IV: $\begin{eqnarray*} n^2= p_1^{24}\cdot p_2^4 \end{eqnarray*}$

Das heißt so könnte das aussehen:
I: $\begin{eqnarray*} n=p_1^2 \cdot p_2^2 \cdot p_3^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tau(n)=27 \end{eqnarray*}$ .

Oder mache ich das falsch?

Mein Problem ist nun, wie sieht das für $\begin{eqnarray*} m^2 \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ aus, denn Quadratzahlen haben ((glaube ich) immer eine ungerade Anzahl an Teilern geschockt

?! DAs hieße ja, dass ich $\begin{eqnarray*} \tau(m) \end{eqnarray*}$ nicht berechnen kann. Oder verstehe ich die Aufgabe nicht?

Vielen Dank für eure Hilfen, Tipps und Anregungen.

P.S. In meinem Skript kann ich nur Rechenregeln finden, wenn m/n eine Primzahl währen.

05.08.2015, 22:00

Captain Kirk

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Hallo,

III und IV ist der selbe Fall.
Den Fall I rechnest du richtig.
Und ja, so ein m existiert nicht, aus dem Grund den du angibst.

05.08.2015, 22:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matheversteher
denn Quadratzahlen haben ((glaube ich) immer eine ungerade Anzahl an Teilern

Richtig. Sofern du dich mit der 16 nicht gerade verschrieben hast, ist dann von einer Fangfrage auszugehen, d.h., es gibt gar keine solche Zahlen $\begin{align*} m \end{align*}$ .

Im anderen Fall $\begin{align*} \tau(n^2)=125 \end{align*}$ sind deine Überlegungen richtig - die Fälle III und IV sind aber genau genommen ein gemeinsamer Fall.

EDIT: Tja... doppelt genäht hält besser.

06.08.2015, 19:00

Matheversteher

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Hallo;

danke für eure Hilfen smile

Dass III und IV im Prinzip der Selbe Fall ist, ist mir bewusst.

Ok, das hieße ja, dass es auch keine Lösung zu $\begin{eqnarray*} \tau(m^3) \end{eqnarray*}$ gäbe oder?

Bei der Aufgabe habe ich mich nicht verschrieben, habe es so eben nocheinmal nachgeschaut.

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