Weierstraßsche Produktdarstellung der Gamma-Funktion

06.08.2015, 10:39	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Weierstraßsche Produktdarstellung der Gamma-Funktion Für alle $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \frac{1}{\Gamma (x)} = xe^{\gamma x} \prod_{n=1}^\infty (1+ \frac{x}{n}) e^{-\frac{x}{n}} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ die Euler-Mascheronische Konstante ist. Ich habe eine Frage zum Beweis, wobei diese eher nicht die Gammafunktion betrifft sondern allgemein die Grenzwerte: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\Gamma (x)} = x \lim_{N\rightarrow\infty} \frac{(x+1)..(x+N)}{N!} N^{-x} = x \lim_{N\rightarrow \infty} (1+ \frac{x}{1})...(1+\frac{x}{N}) exp(-x log(N)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = x \lim_{N\rightarrow \infty} (\prod_{n=1}^N (1+ \frac{x}{n}) e^{-\frac{x}{n}}) (exp(\sum_{n=1}^N \frac{x}{n} - xlog(N)) = xe^{\gamma x} \prod_{n=1}^\infty (1+ \frac{x}{n}) e^{-\frac{x}{n}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Box \end{eqnarray}$ Meine Frage betrifft den letzten Schritt. Warum darf ich den Limes auseinanderziehen? Ich weiß zwar, dass $\begin{eqnarray} \lim_{N\rightarrow \infty} exp(\sum_{n=1}^N \frac{x}{n} - xlog(N))= e^{\gamma x} \end{eqnarray}$ Aber ich weiß nicht ob der Grenzwert von $\begin{eqnarray} (\prod_{n=1}^N (1+ \frac{x}{n}) e^{-\frac{x}{n}}) \end{eqnarray}$ existiert. Um den Limes außeinanderzuziehen brauche ich doch die konvergenz der beiden Terme? $\begin{eqnarray} (1+ \frac{x}{n}) e^{-\frac{x}{n}} \end{eqnarray}$ konvergiert gegen 0 für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty, x>0 \end{eqnarray*}$ aber das reicht ja nicht für die Konvergenz des Produktes. LG, MaGi
06.08.2015, 11:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Weierstraßsche Produktdarstellung der Gamma-Funktion Es gibt mehrere Möglichkeiten das zu lösen. Eine ist zu wissen, dass $\begin{eqnarray} \left ( 1 + \frac x n \right)^n \end{eqnarray}$ monoton gegen $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ konvergiert, und damit $\begin{eqnarray} \prod_{n = 1}^N \left ( 1 + \frac x n \right) e^{- \frac x n } = \prod_{n = 1}^N \left[\left ( 1 + \frac x n \right)^n e^{- x }\right]^{\frac 1 n } \end{eqnarray}$ ein Produkt von Zahlen kleiner 1 ist. D.h. es ist monoton fallend in $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , von unten durch 0 beschränkt, also konvergent. Die andere ist das umschreiben von $\begin{eqnarray} \prod a_k = e^{ \log ( \prod a_k ) } = e^{ \sum \log a_k } \end{eqnarray}$ . Allerdings sehe ich hier keinen Weg, der nicht den Logarithmus Taylorn muss, weil die pure Konvergenz von $\begin{eqnarray} \left ( 1 + \frac x n \right)^n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ nicht ausreicht um zum Grenzwert übergehen zu können (haben nur linearen Abfall, wenn wir nicht wissen wie schnell der Ausdruck konvergiert).
06.08.2015, 16:32	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Danke für deine Antwort! Ja es folgt mit Hopsital, dass $\begin{eqnarray} \left ( 1 + \frac x n \right)^n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ konvergiert für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ . Die wachsende Monotonie hab ich nachgeprüft: $\begin{eqnarray} \frac{(1+\frac{x}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{x}{n})^n}= (1+\frac{x}{n}) (\frac{1+ \frac{x}{n+1}}{1+\frac{x}{n}})^{n+1}= (1+ \frac{x}{n}) * (\frac{x^2+n+nx}{(n+1)(n+x)})^{n+1}=(1+ \frac{x}{n}) * (1- \frac{x}{(n+1)(n+x)})^{n+1} \end{eqnarray}$ Bernoulli $\begin{eqnarray} \ge (1+ \frac{x}{n}) (1- \frac{(n+1)x}{(n+1)(n+x)}) = (1+ \frac{x}{n})(1- \frac{x}{n+x})= (\frac{n+y}{n})(\frac{n+y-y}{n+y})= 1 \end{eqnarray}$ Ich habe noch eine Frage zur Gamma-Funktion! Sie ist ja für x=0 nicht definiert, aber ich habe mich gefragt wie es mit dem Grenzwert für x gegen 0 aussieht? http://www.asc.tuwien.ac.at/~herfort/BAK...mmafunktion.pdf (Intern Seite 4, ganz oben) Dort wird beschrieben, was mit der Gamma-Funktion nahe bei 0 passiert. Sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Gamma (\epsilon) = \int_0^1 t^{\epsilon-1} e^{-t} dt + \int_1^{\infty} t^{\epsilon-1} e^{-t} dt \ge \frac{1}{\epsilon} \int_0^1 t^{\epsilon-1} dt = \frac{1}{e \epsilon} \end{eqnarray}$ Dann gilt doch: $\begin{eqnarray} \lim_{+\epsilon \rightarrow 0} \Gamma (\epsilon) \ge \lim_{+\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon e}= \infty \end{eqnarray}$ D.h. wir haben hier doch eine Unbeschränktheit, aber in dem Skript steht plötzlich: $\begin{eqnarray} \lim_{+\epsilon \rightarrow 0} \Gamma (\epsilon)= \lim_{+\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon e}\le \infty \end{eqnarray}$ ??
06.08.2015, 17:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist nicht falsch, der Wert ist tatsächlich kleiner/gleich unendlich. Aber ja, genauer wäre es unendlich zu schreiben. Wird sich um einen Tippfehler handeln. Denn es folgt statt $\begin{eqnarray} \lim_{+\epsilon \rightarrow 0} \Gamma (\epsilon)= \lim_{+\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon e}\le \infty \end{eqnarray}$ ja aus dem obigen erst einmal nur $\begin{eqnarray} \lim_{+\epsilon \rightarrow 0} \Gamma (\epsilon) \geq \lim_{+\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon e} = \infty \end{eqnarray}$ . Da hat jemand die Ungleichungskette mal erst einmal von rechts nach links geschrieben, gemerkt, dass er es lieber andersrum hätte und dabei ist Chaos entstanden -- so erkläre ichs mir jedenfalls. (Die Position der (Un)Gleichheitsszeichen und die Wahl von kleinergleich statt größergleich deuten darauf hin.) Ansonsten siehts richtig aus was du davor machst. Die Gleichheit $\begin{eqnarray} \left ( 1 + \frac x n \right)^n \to e^x \end{eqnarray}$ ist übrigens sehr elementar, und hin und wieder sogar die Definition von der Exponentialfunktion. Die Darstellung ist auch näher an Eulers Originalarbeiten und der Herkunft von e. (Beweis des obigen Limes kann dann über den binomischen Lehrsatz geführt werden, wenn e^x als Reihe definiert wurde.)

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