Klausuraufgabe: lineare Abbildung auf Folgen

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idur Auf diesen Beitrag antworten »
Klausuraufgabe: lineare Abbildung auf Folgen
Meine Frage:
Hallo,

ich bin in der Mathe-Klausurvorbereitung und mache eine Klausur aus einer älteren Semester. Leider gibt es für diese keine Lösungen. Daher wollte ich fragen ob jmd. vllt. grob drüberschauen kann und mir zumindest sagen ob die Ansätze richtig sind.

Die Aufgabenstellung:

Es sei der - Verktorraum der reelen Folgen. Wir betrachten die Abbildung die gegeben ist durch .

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a) ist linear.
(b) ist surjektiv.
(c) ist nicht injektiv. Warum ist das kein Widerspruch zum Satz: Es sei ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und eine lineare Abbildung. Dann sind äquivalent:
(1) ist bijektiv.
(2) ist injektiv.
(3) ist surjektiv.

Insbesondere bei Aufgabe (b) und (c) bin ich mir nicht sicher ob es in die richtige Richtung geht bzw. ob ich die Indizes richtig interpretiere.

Gruss






Meine Ideen:
(a) Fuer alle Folgen und alle muss gelten. Also:


(b) Sei .
Behauptung:
Fuer jedes gibt es einen Nachfolger im Wertebereich von . Damit ist der Wertebereich von gerade die Menge der Nachfolger einer Folge aus dem Definitionsbereich. Somit hat jedes einen Vorgaenger im Defintionsbereich.

Zeigen der Behauptung mittels vollständiger Induktion:
IA: Für folgt .
IS: Wenn fuer ein , dann folgt auch fuer ein .
Also:
.

(c) Gegenbeispiel:
Sei eine Folge die nur aus Vierern besteht, d.h und die Folge der ungeraden Zahlen, also , dann folgt z.b mit :
aber . Damit nicht injektiv.

Fuer den letzten Teil mit dem Widerspruch habe ich leider keine Idee.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klausuraufgabe: lineare Abbildung auf Folgen
Zu b): So ganz sehe ich nicht, was das werden soll. Wir denken mal wieder kompliziert, scheint mir. Nimm doch einfach eine beliebige Folge , also und gib ein konkretes Urbild an. Sollte kein Problem sein.

Was du bei c) machst, verstehe ich komplett gar nicht, ehrlich gesagt. Und eine Notation der Form sagt mir auch nix - was soll das darstellen? Auch hier wird offenbar wieder megakompliziert gedacht. Konstruiere doch einfach zwei konkrete Folgen mit , aber . Auch das sollte kein Problem sein.

Sind alles nahezu Einzeiler-Beweise.

Was die Sache mit dem Widerspruch angeht: Ist der Vektorraum der reellen Folgen denn endlichdimensional? (Wie könnte denn eine Basis aussehen?)
idur Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich ist das nicht offensichtlich.

Ich versuch mal ein Urbild anzugeben: Für eine beliebige Folge ist das Urbild

Zur c)
Ich habe micht mit verschrieben. Ich meinte . Wobei ich mir selbst unsicher war ob diese Notation richtig ist. Ich habe als Reihe interpretiert. D.h mit Folgen und ist und . Das ist aber anscheinend falsch. Mit ist dann doch eher einfach eine Folge und keine Reihe gemeint.

Dann müsste man mit Folgen und zeigen können das nicht injektiv ist.

(Das mit dem Widerspruch scheint jetzt offensichtlich. Da der Vektorraum der reelen Zahlenfolgen potentiell unendlich ist, gilt der Satz nicht für den unendlichen Fall.)
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von idur
Ich versuch mal ein Urbild anzugeben: Für eine beliebige Folge ist das Urbild


Das Urbild von unter ist . Also ist offenbar nicht injektiv. Da die Folge beliebige Einträge haben kann, ist die Abbildung aber surjektiv.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von idur
Ich versuch mal ein Urbild anzugeben: Für eine beliebige Folge ist das Urbild

?

Und wo ist jetzt ein Urbild von ? Wolltest du doch angeben?

Zitat:
Original von idur
Dann müsste man mit Folgen und zeigen können das nicht injektiv ist.

Ja, die beiden eignen sich.

Zitat:
Original von idur
(Das mit dem Widerspruch scheint jetzt offensichtlich. Da der Vektorraum der reelen Zahlenfolgen potentiell unendlich ist, gilt der Satz nicht für den unendlichen Fall.)

Was heißt "potentiell"?

Der Satz ist sehr komisch formuliert. Bei dir liest es sich so, dass der Satz nicht für den unendlichen Fall gilt, weil der Vektorraum der reellen Zahlenfolgen nicht endlichdimensional ist. Ist doch eine vollkommen andere - und überdies nicht korrekte - Aussage als das, worum es hier geht. Richtig ist: Der Satz ist auf den Vektorraum der reellen Folgen nicht anwendbar, weil dieser Vektorraum nicht endlich dimensional ist. Auf die Formulierungen achten, das ist sehr wichtig!

PS: Ja, da hattest du etwas falsch interpretiert und deine Notation der Form ist eine Eigenerfindung deinerseits. bezeichnet eine Folge. Das außerhalb der Klammer soll nur verdeutlichen, dass der Folgenindex die gesamten natürlichen Zahlen durchläuft - an der Stelle kann man natürlich auch nichts einsetzen. Mit Reihen haben wir hier nichts am Hut, wir haben es in diesem Vektorraum nur mit Folgen zu tun.
idur Auf diesen Beitrag antworten »

Super. Danke für die ausführliche Hilfestellung!
 
 
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