Differenzierbarkeit einer zusammengesetzten Funktion

07.08.2015, 12:14

ChrizZly

Differenzierbarkeit einer zusammengesetzten Funktion

Meine Frage:
Hallo,
Ich soll folgende Funktion auf Differenzierbarkeit in x_0=0 untersuchen.
$\begin{eqnarray*} (x+1)(e^x-1) ~ x\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(x+1)(e^x-1) ~ x < 0 \end{eqnarray*}$
LaTeX-Tag repariert. Steffen

Meine Ideen:
Eigentlich ist die Differenzierbarkeit ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
Jedoch habe ich bei zusammengesetzten Funktionen immer den Ansatz gesehen:
f1(x_0)=f2(x_0) (für die Stetigkeit)
und dann f1'(x_0)=f2'(x_0) (Für die Differenzierbarkeit)
So würde es ja stimme, da f(0)=0 und f'(0) ja 1 ist bei beiden Funtkionen.
Wars das mit der aufgabe?

Vielen Dank im Vorraus

ChrizZly

EDIT: in Latex Leerzeichen eingefügt (klarsoweit)

07.08.2015, 12:52

klarsoweit

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RE: Differenzierbarkeit einer zusammengesetzten Funktion

Zitat:

Original von ChrizZly
Eigentlich ist die Differenzierbarkeit ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Nun ja, eher ist f differenzierbar, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ existiert. Augenzwinkern

Zitat:

Original von ChrizZly
und f'(0) ja 1 ist bei beiden Funtkionen.

Hm, bei mir aber nicht. Einer von uns hat sich verrechnet. smile

EDIT: und so sieht das aus:

07.08.2015, 12:59

ChrizZly

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RE: Differenzierbarkeit einer zusammengesetzten Funktion
den limes hab ich vergessen.

Meine ableitungen sind:
$\begin{eqnarray*} f_1'(x)=(x+1)e^x+e^x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2'(x)=-(x+1)e^x-e^x+1 \end{eqnarray*}$

=> f1=(0+1)*1+1-1=1
=>f2=-1*1-1+1

Und ja. f2=-1 und nicht 1 smile

Also nicht Diff'bar?
Mir geht hier auch viel eher, ob der Ansatz mathematisch richtig ist und ob ich ihn immer verwenden kann.

ChrizZly

07.08.2015, 13:10

klarsoweit

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RE: Differenzierbarkeit einer zusammengesetzten Funktion

Zitat:

Original von ChrizZly
Also nicht Diff'bar?

Richtig.

Zitat:

Original von ChrizZly
Mir geht hier auch viel eher, ob der Ansatz mathematisch richtig ist und ob ich ihn immer verwenden kann.

Ja. Eine Funktion ist an der Stelle x_0 differenzierbar, wenn dort die links- und rechtsseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind. Das ergibt sich quasi aus der Definition. smile

07.08.2015, 13:14

IfindU

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Ich wäre da etwas vorsichtiger mit der Formulierung. So ist $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \sin ( \frac 1 x ) \end{eqnarray*}$ überall differenzierbar, mit $\begin{eqnarray*} f'(0) = 0 \end{eqnarray*}$ , aber die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) = - \cos ( \frac 1 x ) \end{eqnarray*}$ überall sonst besitzt keinen Grenzwert für x gegen 0.

07.08.2015, 13:24

ChrizZly

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IfundU.
Meine Frage war nicht ganz deutlich. Ich meinte, ob ich so immer zusammengesetzte Funktionen prüfen kann,

Vielen dank.

- ChrizZly

07.08.2015, 13:26

IfindU

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Ich war auch unsauber beim aufschrieb: Meine Funktion ist eigentlich
$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} x^2 \sin( \frac 1 x ) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0\end{cases} \end{eqnarray*}$ , also eine "zusammengesetzte".

07.08.2015, 13:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von IfindU
Ich wäre da etwas vorsichtiger mit der Formulierung.

OK, dann nochmal genauer:

Eine Funktion ist an der Stelle x_0 differenzierbar, wenn sie in x_0 stetig ist, die links- und rechtsseitigen Ableitungen existieren und in x_0 die links- und rechtsseitigen Grenzwerte der Ableitungen existieren und gleich sind.

Ich hoffe, das geht jetzt ohne Einwände durch. Augenzwinkern

08.08.2015, 07:24

IfindU

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Ich würde noch etwas zur nicht-differenzierbarkeit ergänzen. Es folgt aus dem Satz vom Maximum, dass die Ableitung $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ einer differenzierbaren Funktion den Zwischensatz erfüllt (selbst wenn nicht stetig). D.h. wenn es so wie hier einfach von -1 auf 1 beim übergang springt, kann es keine Ableitung einer Funktion sein (d.h. die Funktion, die behauptet das als Ableitung zu haben, ist nicht differenzierbar.)

D.h. die einzigen Unstetigkeitsstellen einer Ableitung können nur durch starke Oszillationen kommen. Diese sorgen nämlich dafür, dass der Zwischenwertsatz nicht verletzt ist, und dennoch Stetigkeit nicht vorliegen muss.

11.08.2015, 00:42

ChrizZly1

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Anscheinend kann ich es nicht so machen, wie ich es wollte. Wie wäre dann der Ansatz hier?

Zitat:

Eine Funktion ist an der Stelle x_0 differenzierbar, wenn sie in x_0 stetig ist, die links- und rechtsseitigen Ableitungen existieren und in x_0 die links- und rechtsseitigen Grenzwerte der Ableitungen existieren und gleich sind.

Zuerst Stetigkeit an der Stelle beweisen? sich von links und von rechts an den Punkt annähern?

Dann Die Ableitung und wieder den Grenzwert annähern?

11.08.2015, 09:00

klarsoweit

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RE: Differenzierbarkeit einer zusammengesetzten Funktion
Vielleicht hat die Hitze mein Denkvermögen etwas beeinträchtigt. Deswegen nochmal etwas zur Differenzierbarkeit:

Gemeinhin ist f in x_0 differenzierbar, wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ existiert. Man nennt diesen Grenzwert auch f'(x_0) .

Dazu äquivalent ist, daß der linksseitige Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \nea x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ und der rechtsseitige Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \sea x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ existieren und gleich sind. Eine Überprüfung der Stetigkeit in x_0 ist obsolet.

Was deine Funktion angeht, so ist am Funktionsgraphen erkennbar, daß sie in x_0=0 einen Knick hat und somit dort nicht differenzierbar ist. Durch die Bildung der links- und rechtsseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten sollte das auch feststellbar sein.

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