Teilbarkeitsrelation umformen |
09.08.2015, 16:29 | Matheversteher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Teilbarkeitsrelation umformen ich habe folgende Aufgabe: Bestimmen sie alle ungeraden natürlichen zahlen mit 3|x , 5|(x+2) und 7|(x+4). Ansatz: Mir kam die Idee mit den Simultanen Kongruenzen. I: 3|x --> x=3a --> x kongruent 0 mod 3 II: 5|(x+2) --> x=5b-2 --> x kongruent 3 mod 5 III: 7|(x+4) --> x=7c-4 --> x kongruent 3 mod 7 Allerdings bin ich mir bei der Umformung der Teilbarkeitsrelationen überhaupt nicht sicher. Wie forme ich das richtig um? In meinem Skipt finde ich leider nichts hierzu Vielen Dank für eure Hilfe |
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09.08.2015, 19:06 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine weitere Kongruenz könntest du für "x ungerade" erzeugen und dann den Chinesischen Restsatz benutzen. Edit: Wobei eine Lösung schon direkt offensichtlich ist. Bleibt nur noch zu überlegen, mit welcher Restklasse man hier arbeiten muss. |
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09.08.2015, 20:18 | Matheversteher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
mhhh.... also ich soll x=2z+1 setzen. Somit hätte ich für alle ungeraden Zahlen. Was meisnt du jetzt mit weiterer Kongruenz erzeugen? Meinst du 2|(x-1)? Nur wie gesagt, ich weiß nicht wie ich es richtig als Kongruenz schreibe. So: x kongruent 1 mod 2 ? Mit den Kongruenzen x kongruent 0 mod 3 x kongruent 3 mod 5 x kongruent 3 mod 7 Hätte ich dann mein Kongruenzensystem.
x=3 wäre die erste offensichtliche Lösung. |
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09.08.2015, 21:04 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na klar doch, denn ungerade Zahlen haben nun mal die Eigenschaft, dass sie bei Division durch 2 immer den Rest 1 besitzen. Dann schau doch mit diesen 4 linearen Kongruenzen mal mittels Chinesischem Restsatz (den du ja schon kennst), was da so rauskommen wird und schlage dann mal die Brücke zu deiner richtigen Behauptung:
Edit:
Auch diese 3 linearen Kongruenzen kann man leicht zu einer einzigen zusammenfassen, nämlich zu welcher ? Damit muss man im Endeffekt auch nur eine lineare Kongruenz lösen und das dann nur noch mit Zusatzbedingung "x ungerade" verknüpfen und damit hat man es im Nu. |
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10.08.2015, 18:20 | Matheversteher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Puhhh.... das ist eine gute Frage. Ich habe keine Ahnung, wie ich sie zusammen fassen kann. Ich würde es jetzt so machen: kgV (3,5,7) = 105 und nun die Frage, was mache ich mit den Resten?! Wie mus ich die erweitern? z.B.: Ich habe hier die fehlenden Faktoren des kgV reinmultipliziert. Die Frage ist ob ich das so überhaupt darf Ich werde die Aufgabe nun mal mit den 4 Kongruenzen rechnen und meine Lösung entweder in diesen Post reineditieren oder sie als neue Antwort posten, falls du in der Zwischenzeit antworten solltest. |
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10.08.2015, 18:43 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das mit dem kgV ist schon mal ganz gut Nehmen wir mal ein sehr einfaches Beispiel: x kongruent 0 mod 2 x kongruent 0 mod 3 Das bedeutet ja nun nichts anderes, als dass hier alle Zahlen gesucht sind, die gleichzeitig (restlos) durch 2 und durch 3 teilbar sind. Daher lassen sich die zwei linearen Kongruenzen zu x kongruent 0 mod 6=kgV(2;3) zusammenfassen. Ähnlich funktioniert es auch bei deinem Beispiel. Bedenke dabei nur noch, dass wir immer dieselben Reste brauchen und x kongruent 0 mod 3 ja dasselbe ist wie x kongruent 3 mod 3. |
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10.08.2015, 19:25 | Matheversteher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist mir klar, nur wie verhält es sich mit Resten, die ungleich 0 sind? Ich kann die ja nicht einfach aufmultiplizieren Edit: Das heißt ich darf nur meine 2. und 3. Kongruenz zusammenfassen, da sie diesselben -reste haben?! Ich gehe deann maldavon aus, dass die Kongruenz nicht stimmt. Zur Aufgabe: x kongruent 0 mod 3 x kongruent 3 mod 5 x kongruent 3 mod 7 x kongruent 1 mod 2 Mit diesen Kongruenzen erhalte ich das Ergebnis 3 bzw alle Ergebnisse, die kongruent 3 mod 210 sind, denn kgV(2,3,5,7)= 210 . |
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