Teilbarkeitsrelation umformen

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Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeitsrelation umformen
Hallo alle zusammen Wink

ich habe folgende Aufgabe:

Bestimmen sie alle ungeraden natürlichen zahlen mit 3|x , 5|(x+2) und 7|(x+4).

Ansatz:
Mir kam die Idee mit den Simultanen Kongruenzen.

I: 3|x --> x=3a --> x kongruent 0 mod 3
II: 5|(x+2) --> x=5b-2 --> x kongruent 3 mod 5
III: 7|(x+4) --> x=7c-4 --> x kongruent 3 mod 7


Allerdings bin ich mir bei der Umformung der Teilbarkeitsrelationen überhaupt nicht sicher. Wie forme ich das richtig um? In meinem Skipt finde ich leider nichts hierzu verwirrt

Vielen Dank für eure Hilfe Wink
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine weitere Kongruenz könntest du für "x ungerade" erzeugen und dann den Chinesischen Restsatz benutzen.

Edit:

Wobei eine Lösung schon direkt offensichtlich ist. Bleibt nur noch zu überlegen, mit welcher Restklasse man hier arbeiten muss.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Eine weitere Kongruenz könntest du für "x ungerade" erzeugen und dann den Chinesischen Restsatz benutzen.


mhhh.... also ich soll x=2z+1 setzen. Somit hätte ich für alle ungeraden Zahlen.

Was meisnt du jetzt mit weiterer Kongruenz erzeugen?
Meinst du 2|(x-1)? Nur wie gesagt, ich weiß nicht wie ich es richtig als Kongruenz schreibe. So:
x kongruent 1 mod 2 ?

Mit den Kongruenzen
x kongruent 0 mod 3
x kongruent 3 mod 5
x kongruent 3 mod 7

Hätte ich dann mein Kongruenzensystem.


Zitat:
Original von Bjoern1982
Wobei eine Lösung schon direkt offensichtlich ist. Bleibt nur noch zu überlegen, mit welcher Restklasse man hier arbeiten muss.


x=3 wäre die erste offensichtliche Lösung.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
So: x kongruent 1 mod 2 ?


Na klar doch, denn ungerade Zahlen haben nun mal die Eigenschaft, dass sie bei Division durch 2 immer den Rest 1 besitzen.

Dann schau doch mit diesen 4 linearen Kongruenzen mal mittels Chinesischem Restsatz (den du ja schon kennst), was da so rauskommen wird und schlage dann mal die Brücke zu deiner richtigen Behauptung:

Zitat:
x=3 wäre die erste offensichtliche Lösung.


Edit:

Zitat:
Mit den Kongruenzen
x kongruent 0 mod 3
x kongruent 3 mod 5
x kongruent 3 mod 7


Auch diese 3 linearen Kongruenzen kann man leicht zu einer einzigen zusammenfassen, nämlich zu welcher ?

Damit muss man im Endeffekt auch nur eine lineare Kongruenz lösen und das dann nur noch mit Zusatzbedingung "x ungerade" verknüpfen und damit hat man es im Nu.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982


Zitat:
Mit den Kongruenzen
x kongruent 0 mod 3
x kongruent 3 mod 5
x kongruent 3 mod 7


Auch diese 3 linearen Kongruenzen kann man leicht zu einer einzigen zusammenfassen, nämlich zu welcher ?


Puhhh.... das ist eine gute Frage. Ich habe keine Ahnung, wie ich sie zusammen fassen kann.

Ich würde es jetzt so machen:
kgV (3,5,7) = 105
und nun die Frage, was mache ich mit den Resten?! Wie mus ich die erweitern?
z.B.:


Ich habe hier die fehlenden Faktoren des kgV reinmultipliziert. Die Frage ist ob ich das so überhaupt darf verwirrt

Ich werde die Aufgabe nun mal mit den 4 Kongruenzen rechnen und meine Lösung entweder in diesen Post reineditieren oder sie als neue Antwort posten, falls du in der Zwischenzeit antworten solltest.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem kgV ist schon mal ganz gut Freude

Nehmen wir mal ein sehr einfaches Beispiel:

x kongruent 0 mod 2
x kongruent 0 mod 3

Das bedeutet ja nun nichts anderes, als dass hier alle Zahlen gesucht sind, die gleichzeitig (restlos) durch 2 und durch 3 teilbar sind.
Daher lassen sich die zwei linearen Kongruenzen zu x kongruent 0 mod 6=kgV(2;3) zusammenfassen.

Ähnlich funktioniert es auch bei deinem Beispiel. Bedenke dabei nur noch, dass wir immer dieselben Reste brauchen und x kongruent 0 mod 3 ja dasselbe ist wie x kongruent 3 mod 3.
 
 
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
x kongruent 0 mod 2
x kongruent 0 mod 3

Das bedeutet ja nun nichts anderes, als dass hier alle Zahlen gesucht sind, die gleichzeitig (restlos) durch 2 und durch 3 teilbar sind. Daher lassen sich die zwei linearen Kongruenzen zu x kongruent 0 mod 6=kgV(2;3) zusammenfassen.


Das ist mir klar, nur wie verhält es sich mit Resten, die ungleich 0 sind? Ich kann die ja nicht einfach aufmultiplizieren verwirrt

Edit: Das heißt ich darf nur meine 2. und 3. Kongruenz zusammenfassen, da sie diesselben -reste haben?!


Ich gehe deann maldavon aus, dass die Kongruenz



nicht stimmt.



Zur Aufgabe:

x kongruent 0 mod 3
x kongruent 3 mod 5
x kongruent 3 mod 7
x kongruent 1 mod 2

Mit diesen Kongruenzen erhalte ich das Ergebnis 3 bzw alle Ergebnisse, die kongruent 3 mod 210 sind, denn kgV(2,3,5,7)= 210 .
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