Stetigkeit an einem Punkt

10.08.2015, 16:43

ChrizZly20

Stetigkeit an einem Punkt

Meine Frage:
Hallo,
Ich habe folgendes zu zeigen:
Zeigen Sie mithilfe der Definitionen, dass die Funktion
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R _{\geq0}\rightarrow \mathbb R f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

a) stetig in 0 ist
b) nicht lipschitzstetig in 0 ist.

Meine Ideen:
Ich wollte mit der Limes Definition rangehen, aber ich müsste mich vom negativen annähern, weshalb es nicht geht, da x>= 0 sein muss.

Mit Epsilon Delta habe ich es dann auch versucht bis ich zu $\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ gekommen bin und hier bekomme ich das x nicht weg (delta darf ja von x nicht abhängen.)

Was wäre denn der Richtige Ansatz?

-ChrizZly20

Edit: LaTeX korrigiert. LG Iorek

10.08.2015, 16:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von ChrizZly20
Ich wollte mit der Limes Definition rangehen, aber ich müsste mich vom negativen annähern, weshalb es nicht geht, da x>= 0 sein muss.

Dann verwendest du die falsche Stetigkeits-Definition. Mit der richtigen besteht keine Veranlassung, von der negativen Seite sich annähern zu müssen - jedenfalls nicht bei dieser Funktion hier.

Eine reelle Funktion $\begin{align*} f:\;D\to \mathbb{R} \end{align*}$ heißt stetig in einem Punkt $\begin{align*} x_0\in D \end{align*}$ , wenn es für alle $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ ein $\begin{align*} \delta>0 \end{align*}$ gibt, so dass

$\begin{align*} \forall x\in D:\; \left( |x-x_0| < \delta \; \Rightarrow \; |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon \right) \end{align*}$ .

Es geht also nur um $\begin{align*} x\in D \end{align*}$ , nicht alle $\begin{align*} x\in\mathbb{R} \end{align*}$ . Und im vorliegenden Fall ist nun mal $\begin{align*} D=\mathbb{R}_{\geq 0} \end{align*}$ .

10.08.2015, 17:45

ChrizZly20

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ok. Ich kenne es unter anderem so, dass ich mit mit dem limes von beiden Seiten annähern kann. Dieser war mein erster gedanke. Hier aber falsch.
Die Epsilon Delta Definition sieht bei mir folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0) = |\sqrt{x}-\sqrt{x_0}| \end{eqnarray*}$
Das als Binomische formel gehen und korrekt erweitert dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{|x-x_0|}{\sqrt{x}} < \frac{\delta}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

nun komme ich eben nicht weiter.

10.08.2015, 19:43

magic_hero

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Lass mal das mit der binomischen Formel und setze stattdessen für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ den Punkt ein, an dem du Stetigkeit überhaupt nur untersuchen sollst laut Aufgabenstellung.

\EDIT: Wie es ausschaut, hast du das ja teilweise schon gemacht, nämlich im Nenner. So bleibt einem dann natürlich das Wesentliche verborgen...

10.08.2015, 23:14

ChrizZly20

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ok. Dann habe ich von vorne. direkt 0 in x_o eingesetzt und ich habe einfach nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ da stehen. Jetzt habe ich aber keine Idee, was ich machen soll. An einzelnen Punkten habe ich immer den Limes benutzt.

Könnte ich noch ein Tipp bekommen?

11.08.2015, 12:45

magic_hero

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$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt doch stetig in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-0|<\delta \end{eqnarray*}$ (hier also einfach nur $\begin{eqnarray*} 0<x<\delta \end{eqnarray*}$ wegen des Definitionsbereichs) gilt: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Jetzt nimmst du dir ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ her und überlegst, wie du $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wählen musst, damit $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0)|=|\sqrt{x}|=\sqrt{x}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} 0<x<\delta \end{eqnarray*}$ .
Die letztere Bedingung, d.h. $\begin{eqnarray*} 0<x<\delta \end{eqnarray*}$ , ist dabei das Entscheidende - nur für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ muss die Ungleichung dann ja gelten.

11.08.2015, 14:38

ChrizZly20

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Kann ich jetzt also folgendermaßen vorgehen?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}<\sqrt{\delta}<\epsilon \Rightarrow \delta<\epsilon^2 \end{eqnarray*}$

11.08.2015, 14:52

HAL 9000

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Sorfältiger überlegt geht es so:

Erreichen musst du $\begin{align*} \sqrt{x}<\epsilon \end{align*}$ , was quadriert $\begin{align*} x < \epsilon^2 \end{align*}$ ergibt.

Dies kann für alle $\begin{align*} 0\leq x<\delta \end{align*}$ natürlich nur dann klappen, wenn du $\begin{align*} \delta \leq \epsilon^2 \end{align*}$ wählst. Kannst da z.B. direkt die Grenze wählen, also $\begin{align*} \delta:=\epsilon^2 \end{align*}$ .

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