Integral Konvergenz, Grenzwert ln(x)+1/x

11.08.2015, 10:07

StrunzMagi

Integral Konvergenz, Grenzwert ln(x)+1/x

Konvergiert das Integral?
$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac{x- \sqrt{x}}{x^2} dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac{cos(\pi x)}{x} dx \end{eqnarray*}$
Hinweis:Integralkirterium für Reihen und Cauchykirterium

1)
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=u, \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx = du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_1^s \frac{x- \sqrt{x}}{x^2} dx = 2 \int_1^{\sqrt{s}} u \frac{u^2-u}{u^4} du = 2 \int_1^{\sqrt{s}} \frac{u^2-u}{u^3} = 2 \int_1^{\sqrt{s}} \frac{1}{u} - \frac{1}{u^2} = 2(ln(\sqrt{x}) + \frac{1}{\sqrt{x}})|_1^s = 2 ln(\sqrt{s})+\frac{2}{\sqrt{s}}-2= ln(s) + \frac{2}{\sqrt{s}} - 2 \ge ln(s) + \frac{2}{s} -2 \end{eqnarray*}$
Nun ist mein Problem, wenn ich den Limes bilden möchte dann darf ich den ja nicht außeinanderziehen, da $\begin{eqnarray*} \lim_{s\rightarrow\infty} ln(s) \end{eqnarray*}$ divergiert.

2) konvergiert genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{x=1}^\infty \frac{cos(\pi x)}{x} \end{eqnarray*}$ konvergiert.
$\begin{eqnarray*} \sum_{x=1}^\infty \frac{cos(\pi x)}{x} = \sum_{x=1}^\infty \frac{(-1)^k}{x} \end{eqnarray*}$ konvergiert nach leibniz.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 2) konvergent

11.08.2015, 10:56

HAL 9000

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Bei 1) hättest du auch ohne Substitution direkt rechnen können

$\begin{align*} \int\limits_1^s \frac{x-\sqrt{x}}{x^2} ~ \dd x = \int\limits_1^s \left( x^{-1}-x^{-\frac{3}{2}} \right) ~ \dd x = \left[ \ln(x)+2x^{-\frac{1}{2}} \right]_{x=1}^s = \ln(s) + \frac{2}{\sqrt{s}}-2 \end{align*}$ .

Aber warum "eierst" du danach noch so rum? Der Ausdruck rechts wächst für $\begin{align*} s\to\infty \end{align*}$ offenbar unbeschränkt, damit divergiert das Integral bestimmt gegen $\begin{align*} \infty \end{align*}$ , Punkt, aus, fertig. Augenzwinkern

Zu 2) Hier hilft partielle Integration mit $\begin{align*} u'=\cos(\pi x) \end{align*}$ und $\begin{align*} v=\frac{1}{x} \end{align*}$ :

$\begin{align*} \int\limits_1^s \cos(\pi x)\cdot \frac{1}{x} ~ \dd x = \left[ \frac{\sin(\pi x)}{\pi}\cdot \frac{1}{x} \right]_{x=1}^s + \int\limits_1^s \frac{\sin(\pi x)}{\pi}\cdot \frac{1}{x^2} ~ \dd x \end{align*}$

Jetzt kannst du die beiden Terme rechts hinsichtlich ihres Verhaltens für $\begin{align*} s\to\infty \end{align*}$ untersuchen.

Zitat:

Original von StrunzMagi
2) konvergiert genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{x=1}^\infty \frac{cos(\pi x)}{x} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Mit welcher Begründung? Monotonie liegt hier ja offensichtlich nicht vor - also weshalb sonst soll das gelten? verwirrt

11.08.2015, 11:32

StrunzMagi

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Zitat:

Original von HAL 9000
Bei 1) hättest du auch ohne Substitution direkt rechnen können

$\begin{align*} \int\limits_1^s \frac{x-\sqrt{x}}{x^2} ~ \dd x = \int\limits_1^s \left( x^{-1}-x^{-\frac{3}{2}} \right) ~ \dd x = \left[ \ln(x)+2x^{-\frac{1}{2}} \right]_{x=1}^s = \ln(s) + \frac{2}{\sqrt{s}}-2 \end{align*}$ .

Aber warum "eierst" du danach noch so rum? Der Ausdruck rechts wächst für $\begin{align*} s\to\infty \end{align*}$ offenbar unbeschränkt, damit divergiert das Integral bestimmt gegen $\begin{align*} \infty \end{align*}$ , Punkt, aus, fertig. Augenzwinkern

Weil $\begin{eqnarray*} \lim_{s\rightarrow\infty} ln(s) \end{eqnarray*}$ divergiert, dann gilt doch nicht:
$\begin{eqnarray*} \lim_{s\rightarrow\infty}[ ln(s) + \frac{2}{ \sqrt{s}}]= \lim_{s\rightarrow\infty} ln(s) + \lim_{s\rightarrow\infty} \frac{2}{ \sqrt{s}} \end{eqnarray*}$
Ich darf mir also nicht die Grenzwerte einzeln anschauen? Die Grenzwertsätze gelten nur für konvergente Folgen. Wo ist da mein Denkfehler?

Ja bei b) hab ich mich geirrt, sry!
Ich war bezüglich des Hinweises der Aufgabe geblendet. Mittels der partiellen Integration ist das Beispiel klar! Vielen Dank.

11.08.2015, 14:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Weil $\begin{eqnarray*} \lim_{s\rightarrow\infty} ln(s) \end{eqnarray*}$ divergiert, dann gilt doch nicht:
$\begin{eqnarray*} \lim_{s\rightarrow\infty}[ ln(s) + \frac{2}{ \sqrt{s}}]= \lim_{s\rightarrow\infty} ln(s) + \lim_{s\rightarrow\infty} \frac{2}{ \sqrt{s}} \end{eqnarray*}$

Ich hab ja auch nicht gesagt, dass du die Grenzwertsätze für Summen anwenden sollst, sondern dass $\begin{align*} \ln(s)+\frac{2}{\sqrt{s}} \end{align*}$ unbeschränkt wächst: Das trifft auf den ersten Summanden $\begin{align*} \ln(s \end{align*}$ ) zu, und der zweite ja immer positive Summand $\begin{align*} \frac{2}{\sqrt{s}} \end{align*}$ kann das dann auch für die Gesamtsumme nicht verhindern.

14.08.2015, 09:34

StrunzMagi

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Danke!!

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