Konvergenz einer Folge mit Epsilon beweisen

11.08.2015, 10:15

Danii12

Konvergenz einer Folge mit Epsilon beweisen

Meine Frage:
Hallo,
Ich soll die konvergenz der folgenden Folge beweisen.
$\begin{eqnarray*} \frac{12n^2-3n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nun vermute ich den Grenzwert bei 12.
Also: $\begin{eqnarray*} \frac{12n^2-3n-12n^2-12}{n^2+1} \Rightarrow \frac{-3n-12}{n^2+1} \end{eqnarray*}$
und jetzt? Kann ich durch n Teilen und n gegen unendlich laufen lassen, so dass nur noch 3/n bleibt? Ist ja kein Limes. Oder kann ich jetzt schon N für n einsetzen?
Oder muss ich jetzt etwas ganz anderes machen?

- Danii12

11.08.2015, 10:18

Iorek

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Wenn du es mit Hilfe der Definition beweisen sollst, dann solltest du zunächst mal mit der Definition ansetzen; dir fehlen Betragsstriche, die es dann zunächst aufzulösen gilt. Anschließend könnte man das geeignet nach oben abschätzen.

Siehe auch: [WS] Folgen

11.08.2015, 11:21

Danii12

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Die betragsstriche habe ich vergessen. Ja.
Aber dann gilt ja: $\begin{eqnarray*} | \frac{-3n-12}{n^2+1}|=\frac{3n+12}{n^2+1} \end{eqnarray*}$
Kann ich nun durch n teilen? Dann $\begin{eqnarray*} \frac{3+12/n}{n+1/n} \end{eqnarray*}$ n folgendermaßen abschätzen? $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n} \leq \frac{3}{N} < \epsilon\Rightarrow \frac{3}{\epsilon}<N \end{eqnarray*}$

11.08.2015, 11:33

Iorek

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Wo kommt denn auf einmal $\begin{align*} \frac{3}{n} \end{align*}$ alleine her? verwirrt

11.08.2015, 11:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Danii12
Kann ich nun durch n teilen? Dann $\begin{eqnarray*} \frac{3+12/n}{n+1/n} \end{eqnarray*}$ n folgendermaßen abschätzen? $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n} \leq \frac{3}{N} < \epsilon\Rightarrow \frac{3}{\epsilon}<N \end{eqnarray*}$

Wie willst du denn $\begin{eqnarray*} \frac{3+12/n}{n+1/n} \end{eqnarray*}$ abschätzen? Etwa so: $\begin{eqnarray*} \frac{3+12/n}{n+1/n} < \frac{3}{n} \end{eqnarray*}$ ?
Das gillt beispielsweise schon nicht für n=1 . smile

11.08.2015, 11:59

Danii12

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Eigentlich wollte ich das n gegen unendlich laufen lassen.geht aber nicht, da es ja kein limes ist.

Wie könnte ich es denn machen?

11.08.2015, 12:41

klarsoweit

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Die Idee, $\begin{eqnarray*} \frac{3n+12}{n^2+1} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{irgendwas}{n} \end{eqnarray*}$ abzuschätzen, ist ja durchaus vernünftig. Man muß es nur richtig machen. Da kann man auch mal mit dem Brecheisen ran. Mein Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} \frac{3n+12}{n^2+1} < \frac{3n+12}{n^2} \leq \frac{3n+12n}{n^2} = \frac{15n}{n^2} = \frac{15}{n} < \frac{15}{N_0} \end{eqnarray*}$ für n > N_0 .

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