Grenzwert bestimmen

11.08.2015, 11:00

pina_93

Grenzwert bestimmen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (1+\frac{1}{x^2})^x \end{eqnarray*}$

Dieser Grenzwert soll berechnet werden

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (\frac{x^2+1}{1+x^2})^x \end{eqnarray*}$

ich habe das erstmal zu einen Bruch umgeformt, weiß aber nicht wirklich was ich mit dem hoch x machen soll und ob das überhaupt das richtige Vorgehen ist.. Kann mir da vielleicht jemand helfen?

11.08.2015, 11:16

HAL 9000

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Man kann zunächst

$\begin{align*} \lim_{x \to \infty } \ln\left( \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x \right) = \lim_{x \to \infty } x\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right) \end{align*}$

ermitteln und daraus auf den eigentlich gesuchten Grenzwert rückschließen.

11.08.2015, 12:17

pina_93

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ah danke!

Der Grenzwert ist 0, oder?

11.08.2015, 12:47

klarsoweit

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RE: Grenzwert bestimmen
Da $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{x^2} > 1 \end{eqnarray*}$ ist, kann $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{x^2})^x \end{eqnarray*}$ niemals kleiner als 1 sein. Augenzwinkern

11.08.2015, 13:10

pina_93

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RE: Grenzwert bestimmen
ja, das ist logisch, muss ich das was vor der Klammer steht noch beachten?

11.08.2015, 13:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von pina_93
muss ich das was vor der Klammer steht noch beachten?

Natürlich, sonst bräuchte man es ja nicht hinschreiben.

Wenn du l'Hospital verwenden kannst / darfst, würde ich damit an $\begin{align*} \lim_{x \to \infty } \left (x \cdot \ln(1+\frac{1}{x^2}) \right) \end{align*}$ herangehen.

11.08.2015, 14:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von pina_93
Der Grenzwert ist 0, oder?

Das ist das Kreuz mit den maulfaulen Kurzantworten:

Meinst du mit 0 den Grenzwert $\begin{align*} \lim_{x \to \infty } \ln\left( \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x \right) \end{align*}$ oder $\begin{align*} \lim_{x \to \infty } \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x \end{align*}$ ?

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