Terminale Sigma Algebra / lim inf / lim sup

11.08.2015, 12:49	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Terminale Sigma Algebra / lim inf / lim sup Meine Frage: Hallo Leute folgendes Problem: In einem Prüfungsprotokoll habe ich die Frage gelesen: " In welcher Sigma - Algebra liegt der lim inf und der lim sup?" Ich hatte mir immer gemerkt, dass dieser in der s.o.g. terminalen Sigma Algebra liegt. Jetzt ist mir aber folgendes aufgefallen: Sei $\begin{eqnarray} (A_n)_{n \in \mathbb N} \subset \mathcal A \end{eqnarray}$ eine Folge von messbaren Mengen in der $\begin{eqnarray} \sigma - \end{eqnarray}$ Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ . Der $\begin{eqnarray} \liminf_{n \to \infty} A_n := \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k \end{eqnarray}$ . Ich verstehe auch was da steht, bilde ich mir zumindest ein . Naja jetzt ist mir aufgefallen, dass ja der Schnitt messbarer Menge und auch die Vereinigung messbarer Mengen wieder messbar ist. Also muss doch dieser Limes Inferior auch wieder in der "normalen" $\begin{eqnarray} \sigma - \end{eqnarray}$ Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ liegen oder? Für den Limes Superior genau so. Meine Ideen: Oftmals betrachtet man ja die terminale Sigma Algebra ja im Zusammenhang mit Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_i: \Omega \to \Omega_i \end{eqnarray}$ . Dann erhalte ich ja im Falle, dass ich auf $\begin{eqnarray} \Omega_i \end{eqnarray}$ jeweils schon eine Sigma Algebra habe, gerade eine durch $\begin{eqnarray} (X_i) \end{eqnarray}$ erzeugte Sigma Algebra durch: $\begin{eqnarray} \mathcal A := \sigma ( \bigcup_{i \in I} X_i^{-1} ( \mathcal A_i ) ) \end{eqnarray}$ Jetzt ist ja jedes einzele Urbild Sigma Algebra $\begin{eqnarray} X^{-1}(\mathcal A_i) \end{eqnarray}$ als Teil-Sigma-Algebra da drin enthalten. Eine Folge von Ereignissen muss aber nicht zwingend in einer Sigma Algebra bleiben. Erst die Konstruktion der terminalen Sigma Algebra liefert mir, dass der Limsup und der Liminf in diesem Fall in einer Sigma Algebra (nämlich der terminalen Sigma Algebra )liegen. Aber aus der selben Begründung wie oben müsste doch Liminf und Limsup auch wieder in $\begin{eqnarray} \mathcal A := \sigma ( \bigcup_{i \in I} X_i^{-1} ( \mathcal A_i ) ) \end{eqnarray}$ liegen oder nicht? Ich hoffe einer von euch kann in dem Chaos in meinem Kopf etwas aufräumen, das würde mich sehr freuen Danke
12.08.2015, 15:22	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Terminale Sigma Algebra / lim inf / lim sup So ich habe mir das jetzt nochmal durch denk Kopf gehen lasse und bin zu folgenden Ergebnis gekommen, das ich jetzt noch mal etwas strukturierter notiere, da der obige Beitrag wahrscheinlich etwas konfus wirkt Also sein $\begin{eqnarray} (\Omega, \mathcal A,) \end{eqnarray}$ ein messbarer Raum (Messraum). Sei weiter $\begin{eqnarray} (A_n)_{n \in \mathbb N} \subset \mathcal A \end{eqnarray}$ eine Folge von messbaren Mengen. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \limsup_{n \to \infty} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k \end{eqnarray}$ Da abzählbare Schnitt und Vereinigungen von messbaren Menge messbar sind ist auch der $\begin{eqnarray} \limsup \end{eqnarray}$ messbar ist, bzgl. der gleichen Sigma Algebra, liegt also auch wieder in $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ . Analog erhält man dasselbe Ergebnis für für $\begin{eqnarray} \liminf \end{eqnarray}$ . Nun eine weitere Betrachtungsmöglichkeit: Seien $\begin{eqnarray} (X_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ reellwertige Zufallsvariablen. Also $\begin{eqnarray} X_n : \Omega \to R \end{eqnarray}$ . Nun können wir die $\begin{eqnarray} \sigma - \end{eqnarray}$ Algebren $\begin{eqnarray} \mathcal F_n := \sigma(X_n) \end{eqnarray}$ definieren. Daraus erhalten wir $\begin{eqnarray} T_{\infty} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma ( \bigcup_{k=n}^{\infty} F_k ) \end{eqnarray}$ als terminale Sigma Algebra. Nun gilt zum Beispiel: $\begin{eqnarray} \{\omega \in \Omega \| \exists \lim X_n(\omega) \} \in T_{\infty} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{ \limsup X_n < a \} \in T_{\infty} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{ \liminf X_n < a \} \in T_{\infty} \end{eqnarray}$ Viele Grüße

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