Ruinwahrscheinlichkeit und Prämienaufschlag

11.08.2015, 14:04	Stata	Auf diesen Beitrag antworten »
Ruinwahrscheinlichkeit und Prämienaufschlag Meine Frage: Liebe Matheboarder Ich habe wieder eine Aufgabe mit einem Lösungsvorschlag und hätte gerne euer Feedback zu meinem Vorgehen. Also, los: Wir haben ein Portfolio mit Versicherungsverträgen, das sich aus 100 Verträgen mit einer Versicherungssumme von 4.000 EUR und 300 Verträgen mit einer Versicherungssumme von 10.000 EUR zusammensetzt. Die Schäden der Verträge treten immer stochastisch unabhängig und immer als Totalschaden auf. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schaden eintritt, 0,1 und 0,9, dass kein Schaden eintritt. Wir verfügen zudem über ein Anfangskapital von 50.000 EUR. Die Prämie ist gem. des Erwartungswertprinzips zu berechnen. Bestimmt werden soll nun der erforderliche Sicherheitszuschlag, so dass die Ruinwahrscheinlichkeit kleiner als 0,001 beträgt. Meine Ideen: Also ich weiss, dass: (a) $\begin{eqnarray} E[S]=0,1\cdot 4.000\cdot 100+0,1\cdot 10.000\cdot 300=340.000 \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} E[P]=(1+a)E[S] \end{eqnarray}$ , d.h. die Prämie errechnet sich nach dem Erwartungswertprinzip (c) $\begin{eqnarray} P[(1+a)E[S]+50.000< S^{ind}]\ge 0.001 \end{eqnarray}$ , d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass die Prämie zzgl. des Anfangskapital die eintretenden Schäden deckt ist grösser als 0.001, der Ruinwahrscheinlichkeit. Ich kann aber auch schreiben $\begin{eqnarray} P[(1+a)340.000+50.000 \ge S^{ind}]\le 0.999 \end{eqnarray}$ An dem Teil, an dem ich nun hänge (oder zweifel) ist die Bestimmung der $\begin{eqnarray} S^{ind} \end{eqnarray}$ . Ich weiss, dass der S binomialverteilt ist mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit von 0,1 und der durchschnittliche Schaden 8.500 EUR beträgt (gewichteter Durchschnitt der beiden Schadenklassen). Dann gilt doch $\begin{eqnarray} 8.500 \cdot \begin{pmatrix} 400 \\ x \end{pmatrix} \cdot 0,1^{x}\cdot 0,9^{400-x} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} \alpha=0.999 \end{eqnarray}$ wäre $\begin{eqnarray} x=60 \end{eqnarray}$ und folglich $\begin{eqnarray} S^{ind}=510.000 \end{eqnarray}$ . D.h. der Sicherheitsaufschlag ist $\begin{eqnarray} \alpha=0,353 \end{eqnarray}$ .
11.08.2015, 14:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} S \end{align}$ ist nicht binomialverteilt: Es ist $\begin{align} S = 4000X_1 + 10000X_2 \end{align}$ mit $\begin{align} X_1\sim B(100,0.1) \end{align}$ sowie $\begin{align} X_2\sim B(300,0.1) \end{align}$ . Durch die unterschiedlichen Gewichtsfaktoren 4000 und 10000 ist aber diese gewichtete Summe nicht binomialverteilt, das lässt sich auch nicht durch eine Skalierung wie dein 8500 erreichen. --------------------------------------------------------------------- Was du machen kannst, weil die Anzahlen hinreichend groß sind: Normalverteilungsapproximation $\begin{align} S\approx \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{align}$ mit $\begin{align} \mu = E(S) = 340\,000 \end{align}$ $\begin{align} \sigma^2 = V(S) = 4000^2V(X_1)+10000^2V(X_2) = 2\,844\,000\,000 \end{align}$ .

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