Ableitung einer symmetrischen Matrix nach einer symmetrischen Matrix

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11.08.2015, 21:13	Bleibnichtdumm	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer symmetrischen Matrix nach einer symmetrischen Matrix Meine Frage: Hi, ich möchte das Produkt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} g_1 & 0 \\ g_2 & g_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_2 & x_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} g_1 & g_2 \\ 0 & g_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1 & a_2\\ a_2 & a_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nach der Matrix X ableiten.... eine helfende Hand nehme ich immer gerne Meine Ideen: Also ich bin mir nicht sicher wegen der Symmetrie der Matrizen beim Ergebnis sowie den grundsätzlichen Aufbau der Ergebnismatriz. Also löse ich das mit der Jakobischen Matrix( und darf ich dort eine der doppelten Spalten bzw. Zeile streichen,weil ich sonst ja eine Funktion zweimal ableiten würde ?).Diese würde mich doch zu diesen führen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} g_1^2 & 0 & 0 \\ g_1g_2 & g_3g_1 & 0 \\ g_2^2 & 2g_3g_2 & g_3^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ,oder ? muss ich die Komponente festhalten und dann einzelt nach der gesamten Matrix ableiten. Also ich meine $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{a_1}{x1} & \frac{a_1}{x2} \\ \frac{a_1}{x2} & \frac{a_1}{x4} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , welches dann zu dem führen würde $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} g_1^2 & 0 & g_1g_2 & g_3g_1 \\ 0 & 0 & g_3g_1 & 0 \\ g_1g_2 &g_3g_1 & g_2^2& 2g_3g_2 \\ g_3g_1 & 0 & 2g_3g_2 & g_3^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
11.08.2015, 22:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer symmetrischen Matrix nach einer symmetrischen Matrix Du willst die Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^{2\times 2} \to \mathbb{R}^{2\times 2}, f(X)=AXA^T \end{eqnarray}$ ableiten, richtig? Die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist linear. Jetzt benutze, dass die Ableitung als Linearisierung der Differenz $\begin{eqnarray} f(X+H)-f(X) \end{eqnarray}$ definiert ist.
12.08.2015, 12:10	Bleibnichtdumm	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal, URL Genau, dass ist die Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^{2\times 2} \to \mathbb{R}^{2\times 2}, f(X)=AXA^T \end{eqnarray}$ Da ich nicht gerade , der größte Mathecrack bin und sehr oft auf der langen Leitung stehe, habe ich versucht, dein Rat mal umzusetzen $\begin{eqnarray} f'(X)=f(X+H)-f(X)=AHA^T=.... AA^T \end{eqnarray}$ ? Da dies leider mehr geraten ist , bräuchte ich leider noch mehr tipps, die mich auf den richtigen Weg führen.
12.08.2015, 23:01	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit von f an der (festgehaltenen!) Stelle X bedeutet doch, dass man die Veränderung der Werte von f durch eine lineare Funktion g beliebig gut approximieren kann: $\begin{eqnarray} f(X+H)-f(X)=g(H)+r(H) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{H\to 0}\frac{r(H)}{\\|H\\|}=0 \end{eqnarray}$ (Anders ausgedrückt: Der Fehler r, den man macht, wenn man $\begin{eqnarray} f(X+H)-f(X) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} g(H) \end{eqnarray}$ ersetzt, ist so beschaffen, dass sogar der Quotient $\begin{eqnarray} \frac{r(H)}{\\|H\\|} \end{eqnarray}$ klein wird, wenn nur H klein wird.) Statt g schreibt man dann üblicherweise $\begin{eqnarray} f'(X) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f(X+H)-f(X)=f'(X)(H)+r(H) \end{eqnarray}$ Das ist alles ganz analog zum Fall einer reellen Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Hier ist $\begin{eqnarray} f(X+H)-f(X)=AHA^T=AHA^T+0=\underbrace{AHA^T}_{g(H)} +\underbrace{0}_{r(H)} \end{eqnarray}$ Jetzt musst du dir nur noch überlegen, dass das so definiert g und r obige Bedingungen erfüllt (was offensichtlich ist) Mit der üblichen Notation ist dann $\begin{eqnarray} f'(X)(H)=g(H)=f(H) \end{eqnarray}$ , letzteres nach Definition von f. Für lineares f gilt also $\begin{eqnarray} f'(X)=f \end{eqnarray}$ . Themen zum : Differentiation in Banachräumen oder Frechetableitung.
14.08.2015, 00:08	BleibnichtDumm	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal herzlichen Dank, URL Mir wurde deutlich,dass ich mir die Grundlagen noch ein ganzes Stück vertiefen muss. Als beim Einlesen bin ich darauf gestoßen, dass wenn die Frechet-Ableitung existiert, die Jacobi-Matrix ihr entspricht. Meine Frage lautet jetzt: Muss ich, wenn ich die Jakobi-Matrix bestimmen will, beide Matrizen mit der "vec-funktion" in Vektoren überführen und dann dementsprechend partiell Ableiten ? In diesem Fall, weil die Ergebnismatrix symmetrisch ist, ergibt sich wie im Eingangspost die Jakobi-Matrix zu: $\begin{eqnarray} J= \begin{pmatrix} g_1^2 & 0 & 0 \\ g_1g_2 & g_3g_1 & 0 \\ g_2^2 & 2g_3g_2 & g_3^2 \end{pmatrix} <br /> J\begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \\ h_4 \end{pmatrix}=vec (f'(X)(H)) \end{eqnarray}$ Unter der Berücksichtigung, dass der zweite Eintrag des ersten Spaltenvektors (also vec(H)) einfach reproduziert wird,weil ja die Matrix auch symmetrisch sein muss. Oder bin ich hier komplett auf den Holzweg ? Wenn man dann z.B. Determinate nach einer Matrix mit der oben vorgestellten Methode ableitet, ergibt sich dann die Jakobi-Matrix logischerweise als ein Zeilenvektor . Theoretisch müsste aber ja ne Matrix rauskommen, welches man durch Umsortierung erreichen könnte... Diese Sache lässt mich an der Richtigkeit meiner "Theorie" zweifeln...
14.08.2015, 08:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Als erstes solltest du dir klar werden, welche Funktion du überhaupt ableiten willst! a)Das von mir betrachtete $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^{2\times 2} \to \mathbb{R}^{2\times 2}, f(X)=AXA^T \end{eqnarray}$ - dem du zugestimmt hast. b)Eine Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ - was man auch noch unmittelbar verstehen könnte, weil deine Funktion nicht von x_3 abhängt und 2x2-Matrizen liefert. c)Oder die jetzt eingeführte Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ , bei der du zusätzlich die Symmetrie der Bildmatrizen verwendest. Die Jacobi-Matrix der letzten Abbildung hast du richtig berechnet. Wenn du jetzt $\begin{eqnarray} J\begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \\ h_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ausrechnest, erkennst du hoffentlich die von dir verwendete (lineare) Funktion wieder. Letztlich hast du also auch $\begin{eqnarray} f'(X)=f \end{eqnarray*}$ für lineares f gezeigt.
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16.08.2015, 13:00	BleibnichtDumm	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Url, dass du dich weiterhin mit mir abmühst Ich möchte weiterhin $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^{2\times 2} \to \mathbb{R}^{2\times 2}, f(X)=AXA^T \end{eqnarray}$ ableiten, aber unter den Gesichtspunkt der Jacobi-Matrix. 1)Oder existiert die Jacobi-Matrix für eine $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^{n\times n} \to \mathbb{R}^{m\times m} \end{eqnarray}$ nicht und nur für eine $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ und bedürfen dann die Matrizen die Überführung in der Vektordarstellung um sie zu berechnen? 2) Wie würde die Jacobi-Matrix von $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^{2\times 2} \to \mathbb{R}^{2\times 2} , f(X)=AXA^T \end{eqnarray}$ aussehen, wenn sie existiert, weil da fehlt mir jegliches Verständnis, wie diese Jacobi-Matrix aussehen soll. (Also nicht Ableitung , sondern die Darstellung der Ableitung in Form einer Jakobi-Matrix, weil aus $\begin{eqnarray} f(X)=AdXA^T \end{eqnarray}$ , wüsste ich nicht wie ich die Determinante berechne.) 3) Bei der von dir angesprochenen $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ , bekommt man da nicht Probleme mit ein Rangdefekt, weil eine Zeile doppelt ist. Dies bedeutet man kann keine Determinante berechnen, wodurch sich doch eine Jacobi-Matrix auszeichnet, oder nicht? Eine weitere Frage führt mich auf eine bisschen abgeänderte Problemstellung, nur um eine weitere Problemstellung distkutieren zu können.. $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, f(X)=a^TXb \end{eqnarray}$ Die Ableitung ergeben sich dann zu $\begin{eqnarray} a^TdXb \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} vec(ab^T)vec(dX) \end{eqnarray}$ , bei denen auch das totale Differential übereinstimmen. 4)Wieso darf ich dann laut mein Skript einfach nur schreiben $\begin{eqnarray} ab^T \end{eqnarray*}$ ,also die vec-Funktion einfach weglassen? Und nochmals vielen Dank für jegliche Hilfe in der Vergangenheit bzw. Zukunft
16.08.2015, 20:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1) Ja, so ist das. zu 2) siehe 1) zu 3) Bei einer differenzierbaren Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ ist die Jacobi-Matrix eine $\begin{eqnarray} m\times n \end{eqnarray}$ Matrix. Eine Jacobi-Matrix muss also nicht einmal quadratisch sein, hat also im allgemeinen überhaupt gar keine Determinante. zu 4) Vielleicht solltest du zunächst ein Beispiel zu Ende führen, ehe du das nächste anfängst. Langsam vermute ich, dass du eben doch nicht $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^{2\times 2} \to \mathbb{R}^{2\times 2}, f(X)=AXA^T \end{eqnarray}$ betrachten willst, sondern $\begin{eqnarray} f:W \to W, f(X)=AXA^T \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ der dreidimensionale Unterraum der symmetrischen 2x2 Matrizen ist. W kann man mit $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray}$ identifizieren, die 3x3 Jacobi-Matrix hast du schon richtig berechnet. Also der von mir genannte Fall c)
17.08.2015, 11:52	BleibnichtDumm	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Url, die Beantwortung auf meine Fragen 1-3 sind für mich einige Irrtürmer meinerseits aufgeklärt und im Allgemeinen kann ich jetzt sagen, dass ich durch DEINE Hilfe das Problem der Ableitung von $\begin{eqnarray} AXA^T \end{eqnarray}$ verstanden habe. Aus den Wissen, dass ich hatte und hier gewonnen habe, bin ich nun irritiert über die Ableitung von $\begin{eqnarray} f(X)=a^TXb \end{eqnarray}$ , die mit $\begin{eqnarray} ab^T \end{eqnarray}$ angegeben worden ist. Dies entspricht weder der Interpretation mit $\begin{eqnarray} vec(ab^T) \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} a^TdXb \end{eqnarray}$ nach meinen Verständis. Wie verbinde ich also die Ableitung $\begin{eqnarray} ab^T \end{eqnarray}$ mit den besprochenen Konzepten?
17.08.2015, 21:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann nur vermuten, worum es da geht: Sind $\begin{eqnarray} a,b\in\mathbb{R}^n, X\in\mathbb{R}^{n\times n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^{n\times n}\to \mathbb{R}, f(X)=a^TXb \end{eqnarray}$ gemeint? Dann kann man wieder $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{n\times n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{n^2} \end{eqnarray}$ identifizieren und es ist $\begin{eqnarray} f(X)=\sum_{i,j=1}^na_ix_{ij}b_j \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x_{ij}}(X)=a_ib_j=(ab^T)_{ij} \end{eqnarray}$ . Damit hat man die partiellen Ableitungen in einem handlichen $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ Schema abgelegt. Falls es einen weiteren Nutzen hat, entgeht er mir. Insbesondere ist das nicht die Jacobi-Matrix, denn das wäre eine $\begin{eqnarray} 1\times n^2 \end{eqnarray}$ Matrix. Immerhin gilt mit dem üblichen Skalarprodukt $\begin{eqnarray} vec(a^Tb)\cdot vec(H)=\sum_{i,j=1}^na_ih_{ij}b_j=f(H) \end{eqnarray}$ und in dem Sinn kann man wohl wieder $\begin{eqnarray} f'(X)(H)=f(H) \end{eqnarray}$ behaupten. Schön finde ich das nicht.

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