Komplexes Argument berechnen

12.08.2015, 14:55	Daniel54321	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes Argument berechnen Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe gerade folgendes Problem: Für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gerade und $\begin{eqnarray} n>2 \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} p\in(0,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varrho \in (0,1) \end{eqnarray}$ möchte ich berechnen: $\begin{eqnarray} \arg\{(\Im{(e^{i\frac{2\pi}{n}} e^{-i(1-p)\frac{\pi}{n}} (e^{-ip\frac{\pi}{n}}+i\varrho^{\frac{n}{2}})^2)+\Im{(e^{-i(1-p)\frac{\pi}{n}} (e^{-ip\frac{\pi}{n}}-i\varrho^{\frac{n}{2}})^2)}})\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Meine Vermutung ist, dass $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ als Winkel herauskommt, also die Werte des Ausdrucks aus $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{-} \end{eqnarray}$ sind. Auch MATLAB gibt mir für alle Werte, die ich bis jetzt benutzt habe, diesen Winkel aus. Mit Mathematica habe ich versucht, einen geschlossenen Ausdruck zu bekommen und auch erhalten. Aber bevor ich knapp 40 $\begin{eqnarray} \sin, \cos \end{eqnarray}$ -Terme analysiere, wollte ich hier mal nachfragen, ob jemand von euch ein paar nützliche Formeln hat, mit denen man leichter auf ein Ergebnis kommt. Schöne Grüße Daniel
13.08.2015, 10:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man formt um (der besseren Lesbarkeit halber schreibe ich $\begin{align} r \end{align}$ statt $\begin{align} \varrho \end{align}$ ): $\begin{align} \operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot \frac{2 \pi}{n}} \cdot \operatorname{e}^{- \operatorname{i} (1-p) \cdot \frac{\pi}{n}} \cdot \left( \operatorname{e}^{- \operatorname{i} p \cdot \frac{\pi}{n}} + \operatorname{i} r^{\frac{n}{2}} \right)^2 + \operatorname{e}^{- \operatorname{i}(1-p) \cdot \frac{\pi}{n}} \cdot \left( \operatorname{e}^{- \operatorname{i} p \cdot \frac{\pi}{n}} - \operatorname{i} r^{\frac{n}{2}} \right)^2 = 2 \left( \operatorname{e}^{- \operatorname{i} p \cdot \frac{\pi}{n}} - \operatorname{e}^{\operatorname{i} p \cdot \frac{\pi}{n}} r^n \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{n} \right) - 4r^{\frac{1}{2}n} \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) \end{align}$ Jetzt geht man zum Imaginärteil über. Wegen der $\begin{align} \mathbb{R} \end{align}$ -Linearität erhält man auf der rechten Seite den Ausdruck $\begin{align} 2 \cos \left( \frac{\pi}{n} \right) \cdot \operatorname{Im} \left( \operatorname{e}^{- \operatorname{i} p \cdot \frac{\pi}{n}} - \operatorname{e}^{\operatorname{i} p \cdot \frac{\pi}{n}} \cdot r^n \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{n} \right) \cdot \left( \operatorname{Im} \left( e^{- \operatorname{i} p \cdot \frac{\pi}{n}} \right) - r^n \cdot \operatorname{Im} \left( e^{\operatorname{i} p \cdot \frac{\pi}{n}} \right) \right) = -2 \cdot \left( 1 + r^n \right) \cos \left( \frac{\pi}{n} \right) \sin \left( p \cdot \frac{\pi}{n} \right) \end{align}$ Und das ist mit den Vorgaben für die Variablen stets eine negative reelle Zahl.
13.08.2015, 14:15	Daniel54321	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler in Angabe Hallo Leopold, vielen Dank, diese Umformung sollte mir weiterhelfen. Allerdings ist mir gerade aufgefallen, dass es in der ersten Klammer $\begin{eqnarray} (e^{-ip \frac{\pi}{2}}+i \varrho^{\frac{n}{2}}) \end{eqnarray}$ und in der zweiten Klammer $\begin{eqnarray} (e^{-ip \frac{\pi}{2}}-i \varrho^{\frac{n}{2}}) \end{eqnarray}$ heißen muss . Also im Argument der e-Funktion $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{n} \end{eqnarray}$ . So ein Mist, dass mir das nicht früher aufgefallen ist. Meinst du, das verkompliziert den Ausdruck ungemein? Ich werde mich mal ranhocken um deine Umformung nachzuvollziehen. Vielleicht sieht man dann ja, wo sich etwas ändert. Schöne Grüße Daniel
13.08.2015, 20:27	Daniel54321	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehler in Angabe Hallo nochmal, ich habe die Umformungen soweit nachvollziehen können. Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen habe ich folgenden Term herausbekommen: $\begin{eqnarray} \Im\left( 2\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)e^{ip\frac{\pi}{n}}e^{-ip\pi}-4\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)r^{\frac{n}{2}}e^{-ip\frac{\pi}{2}}e^{ip\frac{\pi}{n}}-2\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)r^ne^{ip\frac{\pi}{n}} \right) \end{eqnarray}$ Wie du gesagt hattest, kann man noch die $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -Linearität ausnutzen: $\begin{eqnarray} -2\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\sin\left(\pi p - \frac{\pi p}{n}\right)-2\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)r^n\sin\left(\frac{\pi p}{n}\right)-4\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)r^{\frac{n}{2}}\sin\left(-\frac{\pi p}{2}+\frac{\pi p}{n}\right) \end{eqnarray}$ Allerdings finde ich keine passenden Umformungen, um ordentlich zu zeigen, dass hier nur negative Reelle Zahlen herauskommen können. Viele Grüße Daniel

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