Oberflächenintegral Kegel

12.08.2015, 15:52	matheman^2	Auf diesen Beitrag antworten »
Oberflächenintegral Kegel Meine Frage: Hallo liebe Community Ich sitze gerade an folgender Aufgabe, mit der ich nicht zurecht komme. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Mantelfläche eines Kegels mit der Höhe 1, dessen Grundfläche den Radius 1=2 hat. Meine Ideen: Meine Ideen: Zunächst muss ich die Fläche parametrisieren. Dafür lege ich eine Ursprungsgerade mit der Steigung 0,5 in das Koordinatensystem. Nun müsste ich theoretisch um die x-Achse drehen, was bedeutet, dass der Def.bereich von [0,1] auf [0,1] x [0,2Pi] abgebildet wird. Die Parametrisierung für mein Oberfläche lautet entsprechend $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ 0,5xcos(phi) \\ 0,5xsin(phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ LaTeX-Tags eingefügt. Steffen Ich integriere über Phi [0,2Pi] und y [0,1/2]. Aber egal wie oft ich das durchdenke ich komme nicht, auf die Mantelfläche vom Zylinder, für die es ja auch eine Formel gibt? Habe ich irgendwo einen Denkfehler. Ein Kommilitone von mir hat nämlich eine andere Funktion aufgestellt. Diejenige, bei welcher die Kegelspitze in positive x Richtung zeigt. Er hat das richtige Ergebnis raus. Inwiefern macht das einen Unterschied wie man die Funktion aufstellt und könnte man z.B. auch um die z-Achse drehen wenn ja wie? Ich hoffe einer kann mir helfen Besten Gruß
12.08.2015, 19:13	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde es mit der Ursprungsgerade $\begin{eqnarray} 2x \end{eqnarray}$ versuchen. Der Kegel hat die Spitze im Ursprung, der Basisradius ist dann 2 wenn $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ gilt. ----------------------------------------------- Wenn du eh' Rotieren willst, dann nimm doch gleich $\begin{eqnarray} y(x)=2x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} M=2\pi \int_0^1\, y(x)\sqrt{1+(y'(x))^2}\, \dd x \end{eqnarray}$
12.08.2015, 19:17	matheman^2	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, schonmal besten Dank für die Antwort. Das was du jetzt aufgezeigt hast, ist die Guldinsche Regel, das ist natürlich viel leichter. Kannst du den Fehler in meiner Denkweise erkennen? Ich kann es nicht sehen. Besten Dank P.S. ich sehe es jetzt erst der Radius ist natürlich R=0.5
14.08.2015, 15:35	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn im Hochschulbereich so eine grundlegende Aufgabe gestellt wird, ist anzunehmen, dass damit eine gerade durchgenommene Berechnungsmethode geübt werden soll, zumal gleich von Parametrisierung, Rotation usw. die Rede war. Falls es nur darum geht, überhaupt eine Lösung zu finden, würde ich alternativ mal vorschlagen, mit einem der simpelsten Ansätze ranzugehen, nämlich der Summation infinitesimaler 'konzentrischer' Kreisringe längs des Mantels s. Das führt dann zu $\begin{eqnarray} M=\int_{0}^{\frac{1}{2} } \! 2\pi r \, ds \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ds=\frac{dr}{cos\alpha } \end{eqnarray}$

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