Folgenkriterium

12.08.2015, 16:33	2gezer	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenkriterium Meine Frage: Hallo an alle Ich habe eine Frage bezüglich des Folgenktriteriums für Stetigkeit. $\begin{eqnarray} <br /> f: B_1 \backslash \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \ , \ (x,y) \rightarrow \ \frac{xy}{\sin(x^2+y^2)}<br /> \end{eqnarray}$ Man soll überprüfen ob diese Funktion fortsetzbar ist, also im Punkt (0,0) stetig. In der Musterlösung benutzt man das Felgenkriterium um zu zeigen, dass diese Funkion nicht stetig ist. $\begin{eqnarray} <br /> <br /> 1. Fall : \qquad x= h, \qquad y= \sqrt{h} <br /> 2.Fall: \qquad x= h \qquad y= h<br /> \end{eqnarray}$ schließlich ergibt sich nach dem Einsetzen und Regel von L'Hospital $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{h \to 0} f(h, \sqrt{h}) \neq \lim_{h \to 0} f(h, h)<br /> \end{eqnarray}$ Nun zu der eigentlichen Frage ^^ Warum darf man Teilfolgen mit verschiedenen Grenzwerten einsetzen? In der Definition von Folgenstetigkeit heißt es doch, dass die Funktion dann stetig ist wenn alle Teilfolgen gegen den gleichen Grenzwert konvergieren und dann $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_{0}} f(x) = f(x_{0}) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wäre echt dankbar für Erklärung
12.08.2015, 17:22	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es werden doch Teilfolgen mit gleichem Grenzwert betrachtet: $\begin{align} \lim\limits_{h\to 0}(h,\sqrt{h})=\lim\limits_{h\to 0} (h,h)=(0,0) \end{align}$ .
12.08.2015, 17:33	2gezer	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man, natürlich hast du Recht unglaublich Dankeschön!!!
12.08.2015, 17:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum man hier mit dem vergleichsweise kompliziert zu rechnenden Parabelweg $\begin{align} x=h,y=\sqrt{h} \end{align}$ operiert, ist mir nicht ganz klar: Hier greift doch bereits $\begin{align} \lim_{h\to 0} f(h,0)=0 \end{align}$ vs. $\begin{align} \lim_{h\to 0} f(h,h)=\frac{1}{2} \end{align}$ , also beides Geraden zum Ursprung.
12.08.2015, 17:51	2gezer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, so hab ich mir das dann auch gedacht. Schneller und simpler. Aber ich wollte unbedingt das mit den Teilfolgen nachvollziehen ^^ Danke nochmal^^

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