Wahrscheinlichkeit - Urnenaufgabe

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karuzo_1896 Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit - Urnenaufgabe
Meine Frage:
Hallo

"In einer Urne befinden sich rote und grüne Kugeln. Nun werden nacheinander eine erste und anschliessend eine zweite Kugel herausgezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugeln gleichfarbig sind, ist..
..13/25, wenn die erste Kugel vor dem Ziehen der zweiten wieder zurückgelegt wird,
..47/95, wenn die erste Kugel vor dem Ziehen der zweiten nicht wieder zurückgelegt wird.
Wie viele rote und grüne Kugeln sind ursprünglich in der Urne?"

Meine Ideen:
hab leider keinen korrekten Lösungsweg und keine Lösung, wäre froh könnte mir jemand helfen :-)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinllichkeit - Urnenaufgabe (schwierig)
Zitat:
Original von karuzo_1896
Wie viele rote und grüne Kugeln sind ursprünglich in der Urne?"

Das ist doch klar!
Es sind r rote und g grüne Kugeln Big Laugh . Was dir fehlt, sind die lediglich die Zahlenwerte von r und g. Nun, da du weißt, wieviele Kugeln beider Sorten in der Urne sind, kannst du auch die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen zweier gleichfarbiger Kugeln in den beiden Varianten berechnen. Setzte das Ergebnis den gegebenen Wahrscheinlichkeiten gleich. Dann hast du 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die du lösen musst.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte noch etwas zu dem entstehenden Gleichungssystem sagen:
Dieses ist quadratisch und daher naturgemäß nicht ganz einfach zu lösen. Beachte, dass es aus diesem Grund auch mehrere (2 verwertbare) Lösungen gibt.
Der Vorteil hier ist, dass die Gleichungen homogen* sind, ausserdem kann man r, g ungleich Null voraussetzen.

Damit kommt man bei der ersten Gleichung letztendlich auf r/g = 3/2 bzw. r/g = 2/3
Dies in die 2. Gleichung einsetzen und diese dann noch kürzen liefert schöne und natürlich ganzzahlige Resultate [(12; 8), ... ]

(*) Es kommen nur r², g² und r*g vor

mY+
karuzo_1896 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinllichkeit - Urnenaufgabe (schwierig)
Danke, ich verstehs aber noch nicht. verwirrt

Zitat:
Nun, da du weißt, wieviele Kugeln beider Sorten in der Urne sind


Muss ich 25+95, oder 13+47 rechnen? Oder beides nicht Big Laugh
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinllichkeit - Urnenaufgabe (schwierig)
Zitat:
Original von karuzo_1896
Muss ich 25+95, oder 13+47 rechnen?

Unfug! Das sind doch nicht die Kugelzahlen. Die Kugelzahlen sind r und g. Du kannst sie auch gern anders benennen. Du musst also mit r und g rechnen. Mach das doch einfach mal, statt dir andere Dinge zu überlegen.
mrdo87 Auf diesen Beitrag antworten »

Um mal ein kleines bisschen konkreter zu werden: Du musst zwei Gleichungen mit den unbekannten g und r aufstellen. Wenn es r rote und g grüne Kugeln gibt, dann gibt es insgesamt Kugeln (also auch noch "unbekannt"). Die Wahrscheinlichkeit beim einmaligen Ziehen eine rote Kugel zu ziehen wäre also beispielsweise . Schaffst du es jetzt die beiden Gleichungen aufzustellen?
 
 
gast1408 Auf diesen Beitrag antworten »

Obwohl ich die Gleichungen habe, kann ich damit r und g nicht bestimmen. Ich finde das hier sehr schwer. Ich wusste mit der 2. Gleichung nichts anzufangen, nachdem ich sie aufgestellt hatte.
Vllt. sollte man hier ausnahmsweise den genauen Lösungsweg angeben. Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vor allem sollte es keine Heimlichtuerei a la "Ich wusste mit der 2. Gleichung nichts anzufangen, nachdem ich sie aufgestellt hatte." seitens des Fragestellers geben:

Wenn du die Gleichungen aufgestellt hast, dann nenne sie doch erstmal, bevor du drüber rumzuphilosphierst - sowas ist m.E. nur dummer Unfug.
gast1408 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht der Fragesteller, sondern nur ein interessierter Mitleser.

Ich habe als 2. Gleichung:
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe da nur eine Umformung des linken Terms zum rechten hin, wobei rechts im Zähler das notwendige umschließende Klammerpaar fehlt.

Zur wirklichen Gleichung wird es erst dann, wenn du diesen Term gleich dem gegebenen Wert 47/95 setzt.

Zitat:
Original von gast1408
Ich bin nicht der Fragesteller, sondern nur ein interessierter Mitleser.

Das ist unerheblich, da du anscheinend genauso am Lösungsweg interessiert bist - damit bist du Mit-Fragesteller.
gast1408 Auf diesen Beitrag antworten »

Als 1. Gleichung habe ich:



Stimmt das soweit ? Wenn ja, wie geht es weiter ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Selbes Problem wie eben angesprochen: Das ist nur ein Term.

Zur Gleichung wird es erst durch .
gast1408 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich hatte vergessen : = 13/25 bei der 1. bzw. =47/95 bei der 2. Gleichung hinzuschreiben. traurig
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichungen stimmen erstmal. Ja, mag knifflig aussehen, wenn man sowas noch nie gelöst hat. Ich bringe mal jeweils den Nenner nach rechts, dann hat man



Subtrahiert man beide Gleichungen voneinander (d.h. links1-links2 = rechts1-rechts2), so ergibt sich eine sehr einfache Gleichung für die Kugelgesamtanzahl :



.
gast1408 Auf diesen Beitrag antworten »

Darauf wär ich nie gekommen. Super und herzlichsten Dank. Du bist ein echtes Ass. Chapeau! smile

Ich hab so ein Problem noch nie gehabt. Daran scheitern wohl auch die meisten Schüler.
Die richtige Idee zur richtigen Zeit zu haben ist halt oft ein Problem für Leute, die nicht so versiert sind wie du. Nochmal besten Dank. Wink
Nachfragender Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt weiß man, dass n = 20 gilt.
Aber wie finde ich nun heraus,wieviele davon rot bzw. grün sind ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst dann z.B. in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen - die erste sieht etwas einfacher aus:

.

Das führt dann auf die weiter oben im Thread erwähnte quadratische Gleichung für .
Nachfragender Auf diesen Beitrag antworten »

O Mann, logisch ! Freude Stand wieder auf dem Schlauch. Liegt sicher auch an der Bruthitze. Vielen Dank.
Dann gibt es also nur ein Zahlenpaar, nämlich 12r und 8g bzw. 12g und 8r.
Jetzt ist alles klar. Ohne Übung ist das in einer Prüfung unter Zeitdruck wohl nur von ganz wenigen zu schaffen.
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