Differenzieren von e hoch minus x ohne Kettenregel

13.08.2015, 08:42	informer_85	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzieren von e hoch minus x ohne Kettenregel Meine Frage: Hallo zusammen, ich hoffe Ihr könnt mir dabei helfen, die folgende Funktion nach x zu differenzieren ohne die Kettenregel zu verwenden (diese wird in der Quelle erst später behandelt): $\begin{eqnarray} b(x)=e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Der Term $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ bereitet mir keine Probleme, da dieser(unter Verwendung der Summenregel) ja gleich bleibt. Aber wie gehe ich beim differenzieren von $\begin{eqnarray} {e^{-x}} \end{eqnarray}$ vor, wenn ich die Kettenregel nicht verwenden möchte/darf? Mein erster Ansatz war an dieser Stelle, den Term unter Verwendung des natürlichen Logarithmus umzuformen, um später (unter Verwendung der übrigen Ableitungsregeln) schrittweise differenzieren zu können. Das ganze sieht momentan so aus: $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} e^{ln(e^{-x})} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} e^{-x ln (e)} \end{eqnarray*}$ Und hier stecke ich fest. Daher meine Fragen: Bin ich schon auf dem richtigen Weg? Wie geht es weiter? Vielen Dank schon mal vorab für jegliche Hilfe!
13.08.2015, 08:52	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzieren von e hoch minus x ohne Kettenregel Ich würde es bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{e^{x}} \end{eqnarray}$ mal mit der Quotientenregel versuchen.
13.08.2015, 09:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder auf $\begin{align} \operatorname{e}^x \cdot \operatorname{e}^{-x} = 1 \end{align}$ die Produktregel $\begin{align} (uv)' = u'v + uv' \end{align}$ anwenden: $\begin{align} \operatorname{e}^x \cdot \operatorname{e}^{-x} + \operatorname{e}^x \cdot \frac{\dd}{\dd x} \left( \operatorname{e}^{-x} \right) = 0 \end{align}$
13.08.2015, 10:16	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder eben - wie vom Fragesteller selbst vorgeschlagen - logarithmisch, nur dann so: $\begin{eqnarray} y=e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(y)=ln(e^{-x}) \end{eqnarray}$ Nach der Vereinfachung der rechten Seite, würde man beim Ableiten der linken Seite dann jedoch die Kettenregel benötigen, welche du ja nicht benutzen darfst/sollst.
13.08.2015, 11:45	informer_85	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzieren von e hoch minus x ohne Kettenregel @klarsoweit: Das war genau der Hinweis, den ich brauchte. $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} (\frac{1}{e^{x}}) = \frac{[1]'e^{x} - 1[e^{x}]'}{[e^x]^2} = \frac{0e^{x} - 1e^{x}}{[e^x]^2} = \frac{-e^{x}}{[e^x]^2} = -\frac{1}{e^x} \end{eqnarray}$ Nun zur ursprünglichen Aufgabe: $\begin{eqnarray} b(x)=e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b'(x)=e^{x} - (-\frac{1}{e^x}) = e^{x} - (-{e^{-x}}) = e^{x} + e^{-x} \end{eqnarray}$ Vielen Dank!

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