Korrektur Aufgabe zur Injektivität/ Surjektivität bei verketteten Funktionen

13.08.2015, 17:05

muff-in

Korrektur Aufgabe zur Injektivität/ Surjektivität bei verketteten Funktionen

Hallo,

Könnte mir jemand sagen, ob meine Beweise zur Lösung dieser Aufgabe ausreichen?
Ich bin mir so unsicher, weil mir diese Typ Beweise so trivial vorkommen. So als würden sie nichts aussagen.

Es seien A,B,C Mengen und f: A --> B, g : B --> C Abbildungen.

(a) Zeigen Sie: Ist g o f injektiv, so ist auch f injektiv
(b) Zeigen Sie: Ist g o f surjektiv, so ist auch g surjektiv
(c) Geben Sie ein Beispiel an, in dem g o f bijektiv, aber weder g injektiv noch f surjektiv ist

Beweise
zu (a)
Zu zeigen: g o f ist injektiv --> f ist injektiv
Betrachte g o f (x1) = g o f (x2)
--> g(f(x1)) = g(f(x2)) --> f(x1) = f(x2), also x1 = x2, was zu zeigen war..

zu (b)
Zu zeigen: g o f ist surjektiv --> g ist surjektiv
Wenn g o f surjektiv ist, bedeutet das g o f (A) = C und somit g(f(A)) = C.
Da f(A) nichts weiter als die Menge B ist gilt: g(B) = C und somit ist g surjektiv.

zu (c)
Diese Aufgabe konnte ich noch nicht lösen. Meine einzige Spur:
Wenn f nicht surjektiv sein soll, muss die Mächtigkeit von A kleiner als die B sein und
wenn g nicht injektiv sein soll, muss die Mächtigkeit von C kleiner als die von B sein.
Wenn A und C nun die selben Mengen mit der selben Mächtigkeit wären, könnte man dann
eine Funktion konstruieren die bijektiv ist?

13.08.2015, 17:29

Guppi12

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Hallo,

deine Beweise sind leider beide falsch. Bei der a) musst du dir noch einmal anschauen, was du zu zeigen hast. Du musst aus $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ folgern, dass $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ . Du hast jetzt stattdessen $\begin{eqnarray*} g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt. Daraus hast du dann $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ gefolgert, was du nicht tun kannst, weil $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nicht injektiv sein muss. Und aus $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ folgt auch nicht $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ , das ist ja gerade die zu zeigende Injektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Zu b)

Zitat:

Da f(A) nichts weiter als die Menge B ist gilt: g(B) = C und somit ist g surjektiv.

Warum soll $\begin{eqnarray*} f(A) = B \end{eqnarray*}$ gelten? Es wurde keine Surjektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt. Dieses Argument lässt sich aber leicht reparieren.

Zitat:

Wenn f nicht surjektiv sein soll, muss die Mächtigkeit von A kleiner als die B sein und wenn g nicht injektiv sein soll, muss die Mächtigkeit von C kleiner als die von B sein.

Das stimmt nicht. Dies sind hinreichende Bedingung, sie sind aber nicht notwendig.

Versuche aber doch einmal, passende Funktionen zu finden mit $\begin{eqnarray*} A=C = \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\{0,1\} \end{eqnarray*}$ .

13.08.2015, 23:18

muff-in

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Hi,

Danke für deine Hilfe. Stimmt die (a) jetzt?

Verbesserte Version zu a

Voraussetzung ist, dass $\begin{eqnarray*} gof \end{eqnarray*}$ injektiv ist, also:
$\begin{eqnarray*} g(f(x_1)) = g(f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ unter dieser Bedingung auch injektiv ist, also
$\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

Berachtet werden $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \end{eqnarray*}$ .
In die Voraussetzung eingesetzt folgt dann $\begin{eqnarray*} g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ woraus sofort $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$ folgt, da die Verkettung injektiv ist.

Zu b: Ich verstehe meinen Fehler, aber ich weiß überhaupt nicht wie es ausbessern soll.

Zu c: Da bin ich noch am überlegen, nicht die Lösung verraten! smile

13.08.2015, 23:26

Guppi12

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Ja, die (a) passt so.

zu (b)
Du hast ja $\begin{eqnarray*} g(f(A)) = C \end{eqnarray*}$ und musst $\begin{eqnarray*} g(B) = C \end{eqnarray*}$ zeigen. Nun ist $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aber, falls es nicht gleich $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ ist, ja sogar eine größere Menge als $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ . Siehst du es nun?

13.08.2015, 23:46

muff-in

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Nein, ich stehe voll aufm Schlauch.

Also es läuft doch darauf hinaus, dass ich f(A) = B zeigen muss, oder? Und das muss so sein, denn wenn f(A) ungleich B gelten wüde, hätte B eine größere Mächtigkeit als A und das wäre ein Wiederspruch weil?

Weil g dann zusätzlich zu den Elementen von f(A) die restlichen Elemente von B nach C abbilden würde und dann wäre g nicht injektiv? Aber das ist doch gar nicht vorausgesetzt oder? verwirrt

Edit: das mit der Injektivität ist ein Schmarn. g könnte trotzdem injektiv sein, aber genauso auch surjektiv oder nicht? Selbst wenn C viel größer als A wäre, kann die Verkettung doch trotzdem surjektiv sein

13.08.2015, 23:48

Guppi12

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Zitat:

Also es läuft doch darauf hinaus, dass ich f(A) = B zeigen muss, oder?

Nein, das muss auch überhaupt nicht so sein. Du musst $\begin{eqnarray*} g(B) = C \end{eqnarray*}$ zeigen. Und du hast schon $\begin{eqnarray*} g(f(A)) = C \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sogar noch größer als $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ .

13.08.2015, 23:50

muff-in

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f(A) ist Teilmenge von B ?

Oder gleich B? Dann wäre es ja gezeigt oder?

Edit: Also ich meinte $\begin{eqnarray*} f(A) \subseteq B \end{eqnarray*}$

13.08.2015, 23:54

Guppi12

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$\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ enthält doch genau die Bilder von Elementen aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Wo sollen die denn sonst drin liegen, wenn nicht in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ? Was bedeutet denn der Ausdruck $\begin{eqnarray*} f:A\to B \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Nein, das muss nicht gleich sein. Ich empfehle dir ganz dringend, die Definitionen noch einmal anzusehen. Daran scheitert es gerade ganz extrem.

13.08.2015, 23:59

muff-in

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Nein an den Definitionen liegts nicht. Ich bin nur noch nicht so geübt im Beweisen.

Die Abbildung A --> B bedeutet, dass A die Urbilder von B enthält und B die Bilder von A

14.08.2015, 00:01

Guppi12

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Ja, das hat sich auch erübrigt. Ich dachte, du wolltet wieder $\begin{eqnarray*} f(A) = B \end{eqnarray*}$ zeigen Augenzwinkern

Zitat:

Edit: Also ich meinte $\begin{eqnarray*} f(A) \subseteq B \end{eqnarray*}$

Das ist richtig, aber bitte nicht einfach glauben, sondern verstehen wieso smile

14.08.2015, 00:15

muff-in

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Also zusammengefasst:

Wenn $\begin{eqnarray*} gof \end{eqnarray*}$ surjektiv ist, bedeutet das, dass $\begin{eqnarray*} g(f(A)) = C \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f(A) \subseteq B \end{eqnarray*}$ ist, gilt $\begin{eqnarray*} g(B) = C \end{eqnarray*}$ ?

Zu c:
$\begin{eqnarray*} f: \left\{ 0\right\} \rightarrow \left\{ 0,1\right\} , x \mapsto x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \left\{ 0,1\right\} \rightarrow \left\{ 0\right\} , x \mapsto 0 \end{eqnarray*}$

14.08.2015, 00:16

Guppi12

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14.08.2015, 00:20

muff-in

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Yay super =) Danke vielmals für deine Hilfe! =) Mit Zunge

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