Komplexe Wurzel Gleichung

13.08.2015, 19:01

charly0808

Komplexe Wurzel Gleichung

Meine Frage:
Zu lösen ist folgende Gleichung
z^{3} = \frac{-1}{27}
in kartesischer Form.

Meine Ideen:
Meine Idee wäre einfach die dritte Wurzel von \frac{-1}{27} zu ziehen, und komme dann auf \frac{-1}{3}.
Sind das dann alle Lösungen von z?

13.08.2015, 19:20

grosserloewe

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RE: Komplexe Wurzel Gleichung
Wink

nein sind es nicht.

Das stimmt.
Aber es gibt noch 2 weitere komplexe Lösungen.
Habt Ihr komplexe Rechnung gehabt?
Hast du eine Idee?

14.08.2015, 09:34

HAL 9000

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Wenn du direkt zur kartesischen Form willst, d.h., die Polarform umgehen willst, dann kannst du das über

$\begin{align*} z^3-a^3 = (z-a)(z^2+az+a^2) \end{align*}$

tun, im vorliegenden Fall mit $\begin{align*} a=-\frac{1}{3} \end{align*}$ .

14.08.2015, 15:28

charly0808

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RE: Komplexe Wurzel Gleichung
@grosserloewe

Danke für deine Antwort. smile

Wir hatten komplexe Rechnungen nur immer mit einem Imaginäranteil gehabt. Die konnte ich auch lösen.
Das - vor dem 1/27 kann man doch auch durch i^2 ersetzen oder? Bringt mir das was? verwirrt

14.08.2015, 15:43

HAL 9000

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Dich stört, dass rechts der Imaginärteil fehlt??? Dem kann abgeholfen werden:

$\begin{align*} z^3 = -\frac{1}{27} + 0\cdot i \end{align*}$

Zitat:

Original von charly0808
Das - vor dem 1/27 kann man doch auch durch i^2 ersetzen oder? Bringt mir das was? verwirrt

Nichts.

14.08.2015, 18:13

charly0808

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Weiterer Ansatz:
$\begin{eqnarray*} z_{0,1,2} = \sqrt[3]{-\frac{1}{27} } * e^{i*\frac{\pi +2k\pi }{3} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -\frac{1}{3}*e^{i*\frac{\pi }{3} } *e^{i*\frac{2k\pi }{3} } <br /> k= 0,1,2 \end{eqnarray*}$

Nun hab ich ja drei Lösungen für z, wenn ich k einsetze.

14.08.2015, 19:34

grosserloewe

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Nun hab ich ja drei Lösungen für z, wenn ich k einsetze.
---------->ja , es gibt auch 3 Lösungen

die allg. Formel lautet:

$\begin{eqnarray*} z_{k} = |a|^{\frac{1}{n} } *e^j{\frac{\psi +2k\pi }{n} } \end{eqnarray*}$

dabei sind:

$\begin{eqnarray*} a= \frac{1}{27} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi= \pi \end{eqnarray*}$

15.08.2015, 08:37

charly0808

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Vielen Dank für die schnellen Antworten. Freude

Jetzt hab ich noch eine letzte Frage:
Wie kann ich das Ergebnis in die kartesische Form bringen? verwirrt

15.08.2015, 09:13

grosserloewe

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indem Du für k die Werte 0,1 2 einsetzt:

Beispiel für k=0

z(0)=

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} e^{j\frac{\pi }{3} } \end{eqnarray*}$

das wandelst Du in die trigonometrische Form um und erhälst:

$\begin{eqnarray*} z_{0} =\frac{1}{3} (cos(\frac{\pi }{3}) +j\sin(\frac{\pi }{3} ) ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{0} =\frac{1}{6} +\frac{j\sqrt{3} }{6} \end{eqnarray*}$

Du mußt Du natürlich noch für k= 1 und 2 machen.

15.08.2015, 09:50

charly0808

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Für k=1

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \left(\cos(\pi )* i\sin(\pi ) \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Für k=2

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \left(\cos(\frac{4\pi}{3} )* i\sin(\frac{4\pi}{3} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{4}{9} \left(\cos(\pi )* i\sin(\pi ) \right) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

15.08.2015, 21:24

grosserloewe

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Hallo,

generell : statt Mal muß ein Plus stehen. Schreibfehler?

k=1 stimmt

k=2 ist falsch , speziell 4 Pi

16.08.2015, 10:07

charly0808

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Ups, hab mich einfach verschrieben.

Auf jeden Fall, vielen Dank für eure schnelle Hilfe. Ihr habt mir sehr geholfen. Freude

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