Geschlossene Formel finden

14.08.2015, 00:24

Lucy524

Geschlossene Formel finden

Wie geht man vor, wenn man eine geschlossene Formel für eine Reihe finden soll? Gibt es da irgendwelche Tricks?

Als Beispiel habe ich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1} k^2 \end{eqnarray*}$ , wichtiger ist mir aber generell zu wissen, wie man sowas löst.

14.08.2015, 01:54

Dopap

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Summen von Potenzen sind polynomial und der Grad ist 1 größer
Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}k^2=an^3+bn^2 +cn \end{eqnarray*}$

Einsetzen für n = 1,2,3 liefert ein LGS in a,b,c.

Beweis mit vollständiger Induktion.

in Summenformeln wird meist die Produktform verwendet.

14.08.2015, 03:09

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RE: Geschlossene Formel finden
@Lucy524: Wenn Du es schon so schreibst ... Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}k^2=\sum\nolimits_0^n x^2\,\delta x=\sum\nolimits_0^n(x^{\underline2}+x^{\underline1})\,\delta x=\left[{x^{\underline3}\over3}+{x^{\underline2}\over2}\right]_0^n={1\over6}n(n-1)(2n-1) \end{eqnarray*}$

In "Concrete Mathematics" (Graham/Knuth/Patashnik) stehen noch mehr Tricks.

14.08.2015, 09:21

HAL 9000

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@rg

Dein Beitrag beweist wohl, dass du das von dir empfohlene Buch gelesen hast und dich für die (vermutlich von dort stammenden) gewöhnungsbedürftigen Symboliken wie $\begin{align*} x^{\underline k} \end{align*}$ und $\begin{align*} \sum\nolimits_0^n f(x) \delta x \end{align*}$ begeisterst.

Ob das Lucy524 beim Verständnis und der Lösung ihres Problems hilft, bezweifle ich ernsthaft. Augenzwinkern

14.08.2015, 13:01

Lucy524

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Danke!

Wenn es mit Polynomen funktioniert, dann ist es ja ziemlich einfach.

14.08.2015, 17:48

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@HAL 9000: Dein Kommentar liest sich wie ein stellvertretendes "Danke, aber das hilft mir auch nicht weiter." Augenzwinkern

14.08.2015, 17:56

HAL 9000

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Das nennt man wohl fehlende Einsicht in dieTatsache, dass man unbekannte Symboliken erläutern sollte - zumindest dann, wenn man wirklich helfen will.

Mir ist schon klar, dass du mit $\begin{align*} x^{\underline{k}} \end{align*}$ das Produkt $\begin{align*} \prod_{j=0}^{k-1}(x-j) \end{align*}$ meinst, aber glaubst du tatsächlich, dass Lucy524 das sofort erkannt hat?

14.08.2015, 18:11

Dopap

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schöne Syntax für Schreibfaule. Fehlt nur noch das $\begin{eqnarray*} \delta x \end{eqnarray*}$ ?

14.08.2015, 18:34

HAL 9000

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Diese Symbolik soll wohl die Verwandtschaft von Summation und Integration ausdrücken:

$\begin{align*} \sum\nolimits_0^n f(x) ~ \delta x := \sum_{x=0}^n f(x) \end{align*}$ .

Diesmal wohl nix für Schreibfaule. Augenzwinkern

14.08.2015, 19:00

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Details stehen im Buch (fuer Erstsemester geschrieben). In der urspruenglichen Anfrage wurden Tricks verlangt, mit denen man geschlossene Formeln fuer Summen finden kann:

Zitat:

Als Beispiel habe ich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1} k^2 \end{eqnarray*}$ , wichtiger ist mir aber generell zu wissen, wie man sowas löst.

In dem Buch duerften so ziemlich alle bekannten und unbekannten Tricks drinstehen. Die alle hier zu reproduzieren ist etwas viel verlangt. Ich hab nur eine Kostprobe gegeben. Wen's genauer interessiert, der kann's nachlesen. Das Buch duerfte in jeder Uni-Bibliothek stehen.

Nebenbei ist $\begin{eqnarray*} \sum\nolimits_a^b f(x)\,\delta x:=\sum_{x=a}^{b-1}f(x) \end{eqnarray*}$ , sonst klappt es mit dem diskreten Hauptsatz nicht.

14.08.2015, 19:10

HAL 9000

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Mit ein wenig mehr Rücksicht auf bekannte Symboliken (wenn du deine schon nicht einführen willst) hättest du unter Beibehaltung des mathematischen Inhalts ja auch

$\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1} k^2 = \sum_{k=0}^{n-1} \left( 2\binom{k}{2} + \binom{k}{1} \right) = 2\binom{n}{3} + \binom{n}{2} \end{align*}$

schreiben können - Binomialkoeffizienten werden ja sicher in der Schule eingeführt. In dem Fall benötigt man aber immer noch den Hilfssatz $\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{k}{m} = \binom{n}{m+1} \end{align*}$ .

15.08.2015, 04:36

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One-Trick Pony, wertlos fuer die Trickkiste.

15.08.2015, 08:49

HAL 9000

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Haargenau dieselbe Mathematik, nur mit allgemein bekannten Symbolen geschrieben, soll plötzlich wertlos sein? Mach dich nur weiter lächerlich mit dieser dummen Arroganz. ROFL

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