Komplexe Kurvenintegrale

15.08.2015, 11:47	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Kurvenintegrale Meine Frage: Hallo Zusammen Bei folgender Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob meine Resultate stimmen: Berechnen Sie die komplexen Kurvenintegrale $\begin{eqnarray} \int_{\gamma _i} \! z³ \, dz \end{eqnarray}$ , i = 1, 2 für die Kurven (i) $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ , die das Viertel des Einheitskreises von i nach -1 durchläuft (ii) $\begin{eqnarray} \gamma_2 \end{eqnarray}$ , die die zwei Strecken von i nach 0 und von 0 nach -1 durchläuft Meine Ideen: zu (i) Hier habe ich die Parametrisierung $\begin{eqnarray} \gamma_1(t)=e^{2\pi i t} \end{eqnarray}$ und berechne folgendes Integral: $\begin{eqnarray} \int_{i}^{-1} \! f(\gamma (t))\gamma '(t) \, dt \end{eqnarray}$ wobei ich schlussendlich auf folgendes komme: $\begin{eqnarray} \frac{-1-e^{-8\pi}}{4} \end{eqnarray}$ Kann ich den Weg $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ so parametrisieren? Stimmt mein Resultat so? Zu (ii) Hier habe ich die Strecke von i nach 0 parametrisiert durch $\begin{eqnarray} \gamma _{21}: [i, 0] \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t \mapsto i - it \end{eqnarray}$ und die Strecke von 0 nach -1 durch $\begin{eqnarray} \gamma _{22}: [0, -1] \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t \mapsto -t \end{eqnarray}$ Berechnet habe ich schlussendlich: $\begin{eqnarray} \int_{\gamma _2} \! z³ \, dz = \int_{\gamma _{21}} \! f(\gamma _{21}(t))\gamma _{21}'(t) \, dt + \int_{\gamma _{22}} \! f(\gamma _{22}(t))\gamma _{22}'(t) \, dt = ... = 3 - i \end{eqnarray}$ Stimmt die Parametrisierung so oder muss man die Aufgabe anders angehen? Vielen Dank für die Hilfe!
15.08.2015, 12:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend kennst du den Satz noch nicht, daß bei Vorliegen einer Stammfunktion das Integral wegunabhängig ist. Rechnen wir also mit Parametrisierungen. Deine Parametrisierung des Viertelkreises von $\begin{align} \operatorname{i} \end{align}$ nach $\begin{align} -1 \end{align}$ stimmt nicht. Richtig, um deinen Ansatz zu verbessern, wäre etwa $\begin{align} \gamma_1(t) = \operatorname{e}^{2 \pi \operatorname{i} t} \, , \ \ t \in \left[ \frac{1}{4} , \frac{1}{2} \right] \end{align}$ Beachte insbesondere das Parameterintervall. Auch (ii) stimmt nicht.
15.08.2015, 12:18	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm doch stimmt, das hatten wir mal in der Vorlesung. Sehe nur gerade nicht, wie ich den Satz hier zu meinen Gunsten ausnutzen kann...
15.08.2015, 12:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{align} F(z) \end{align}$ eine Stammfunktion von $\begin{align} f(z) \end{align}$ und sind $\begin{align} z_0 \end{align}$ und $\begin{align} z_1 \end{align}$ Anfangs- bzw. Endpunkt der Kurve $\begin{align} \gamma \end{align}$ , so gilt: $\begin{align} \int_{\gamma} f(z) ~ \dd z = F(z_1) - F(z_0) \end{align}$ Das mit den Parametrisierungen solltest du aber unbedingt noch einmal üben. Du scheinst mir hier die Ebenen "Parameterintervall" und "Spur der Kurve" durcheinanderzubringen.

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