Wurzeliges Integral

15.08.2015, 17:53

Seppelkoi

Wurzeliges Integral

Ich habe folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2} \! 15 \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x} } } \, dx \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Die Funktion habe ich nach den Regeln der Potenzen so umgeformt:

$\begin{eqnarray*} = 15x^{\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} } } \end{eqnarray*}$

Stimmt das so weit? Und wenn ja, komme ich mit dem Bilden der Stammfunktion nicht weiter verwirrt

Vielen Dank für alle Tipps.

15.08.2015, 18:04

gast1408

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wurzeliges Integral
WEnn man die Potenzschreibweise verwendet, erhält man;

x^(1/2)*x^(1/4)*x^(1/8) = x^(7/8)

Das läss sich leicht integrieren. Wink

16.08.2015, 11:54

Seppelkoi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe meinen Fehler wohl erkannt, möchte dazu aber noch was fragen:

Ich bin davon ausgegangen dass jede Wurzel nur "einmal gültig ist", deswegen habe ich überall x^1/2 angesetzt. Hier ist nur das erste X so angegeben, die zweite und dritte Form ist dann mit zwei bzw drei Wurzeln

Also Wurzel Wurzel = ^1/4 und Wurzel Wurzel Wurzel =^1/8

Habe ich das richtig verstanden?

Ansonsten vielen dank smile

16.08.2015, 12:53

Seppelkoi

Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen davon, hab ich jetzt mal weitergemacht:

$\begin{eqnarray*} 15\int_{1}^{2} \! x^{\frac{7}{8} } \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{8x^{\frac{15}{8} } }{15} \end{eqnarray*}$

Damit komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} 15([\frac{8*2^{\frac{15}{8} } }{15}] - [\frac{8*1^{\frac{15}{8} } }{15}]) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 15 * \frac{8^{\frac{15}{8} } }{15} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

16.08.2015, 13:26

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Niente!
Bis zu dem Einsetzen der Grenzen stimmt es noch, die letzte Zeile ist jedoch Mumpitz.
--------
Das hintereinander Wurzelziehen hast du jedoch richtig verstanden.

mY+

16.08.2015, 21:06

Seppelkoi

Auf diesen Beitrag antworten »

Neuer Versuch ab der vorletzten Zeile:

$\begin{eqnarray*} = 15[\frac{8}{15}(2^{\frac{15}{8} } - 1^{\frac{15}{8} })] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{120}{15} (2^{\frac{15}{8} } - 1^{\frac{15}{8} }) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 8 (2^{\frac{15}{8} } - 1^{\frac{15}{8} }) \end{eqnarray*}$

Wie es jetzt weitergeht (vorausgesetzt es ist alles richtig bis hierher, deswegen habe ich es so ausführlich aufgeschrieben) weiß ich leider nicht. Ich darf bei den Potenzen innerhalb der Klammer ja nix machen, da die Basen unterschiedlich sind.

Wer kann mir sagen, wie ich hier noch weiter vereinfachen kann? Bin da nicht so fit...

17.08.2015, 08:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Seppelkoi
Abgesehen davon, hab ich jetzt mal weitergemacht:

$\begin{eqnarray*} 15\int_{1}^{2} \! x^{\frac{7}{8} } \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{8x^{\frac{15}{8} } }{15} \end{eqnarray*}$

Manchmal ist es praktischer, einen konstanten Faktor im Integranden zu belassen. Das führt dann zu einer Stammfunktion mit einer etwas einfacheren Darstellung:
$\begin{eqnarray*} F(x) = 8x^{\frac{15}{8} } \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Seppelkoi
$\begin{eqnarray*} = 8 (2^{\frac{15}{8} } - 1^{\frac{15}{8} }) \end{eqnarray*}$

Wie es jetzt weitergeht (vorausgesetzt es ist alles richtig bis hierher, deswegen habe ich es so ausführlich aufgeschrieben) weiß ich leider nicht. Ich darf bei den Potenzen innerhalb der Klammer ja nix machen, da die Basen unterschiedlich sind.

Wer kann mir sagen, wie ich hier noch weiter vereinfachen kann? Bin da nicht so fit...

Mit der Schreibweise 8 = 2³ kannst du noch die 2er-Potenzen zusammenfassen (Distributivgesetz beachten). Und "1 hoch irgendwas" auszurechnen, sollte auch nicht so schwer sein.

17.08.2015, 12:44

Seppelkoi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 2^{3}(2^{\frac{15}{8} } - 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2^{\frac{39}{8} } - 2^{3} \end{eqnarray*}$

Hier mein Endergebnis smile

17.08.2015, 12:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist für mich ok. smile

Neue Frage »

Antworten »

Wurzeliges Integral

Verwandte Themen