Wurzel einer komplexen Zahl

15.08.2015, 18:28

Kimyaci

Wurzel einer komplexen Zahl

Hallo,

ich frage mich wie ich folgenden Ausdruck weiter vereinfachen kann

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-8-6i} \end{eqnarray*}$

Sitze schon sehr lange dran..

15.08.2015, 20:06

NothingSpecial

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RE: Wurzel einer komplexen Zahl
Hallo kimyaci,

du siehst hier einen Wurzelausdruck. Wenn wir einen Wurzelausdruck einer komplexen Zahl weiter vereinfachen wollen, könnten wir zu Erst überprüfen, ob diese komplexe Zahl nicht eine Quadratzahl einer anderen komplexen Zahl ist.

Wenn wir eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z = a + bi \end{eqnarray*}$ quadrieren, erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} z^{2} = (a + bi)^{2} = a^{2} + 2abi - b^{2} = (a^{2} - b^{2}) + (2ab)i \end{eqnarray*}$

Gibt es also ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , sodass:

$\begin{eqnarray*} a^{2} - b^{2} = -8 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} 2ab = -6 \end{eqnarray*}$ gilt?

Wenn man dieses Gleichungssystem nun löst, erkennt man schnell, dass $\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = (-3) \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} a = (-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = 3 \end{eqnarray*}$ Lösungen sind.

Damit können wir den Wurzelausdruck nun auflösen und erhalten unsere beiden Quadratwurzeln:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(-8 - 6i)} = \sqrt{(-1 + 3i)^2} = (-1 + 3i) \end{eqnarray*}$ bzw.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(-8 - 6i)} = \sqrt{(-(-1 + 3i))^2} = \sqrt{(1 - 3i)^2} = 1 - 3i \end{eqnarray*}$

Aufpassen, das heißt nicht, dass $\begin{eqnarray*} -1 + 3i = 1 - 3i \end{eqnarray*}$ .

15.08.2015, 20:12

Kimyaci

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RE: Wurzel einer komplexen Zahl
Wow, danke für die ausführliche Antwort! Sehr hilfreich, habs verstanden. Freude

15.08.2015, 23:48

Helferlein

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Hallo NothingSpecial,

willkommen im Matheboard. Wink

Bitte lies Dir unser Boardprinzip einmal genau durch, denn Komplettlösungen, wie die hier von Dir gepostete, sind nicht wirklich hilfreich und daher nicht gewünscht. Bitte beachte das in Zukunft.

Dein MatheBoard-Team

16.08.2015, 15:07

NothingSpecial

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Zitat:

Original von Helferlein
Hallo NothingSpecial,

willkommen im Matheboard. Wink

Oh. Ich bitte um Verzeihung.

16.08.2015, 15:43

HAL 9000

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Passender Link: Algebraische Darstellung der komplexe Quadratwurzel, d.h. ohne Umweg über die Polardarstellung.

Natürlich klappt es i.a. nicht so schön, dass da ganze Zahlen als Real- und Imaginärteil herauskommen, die Regel sind eher ineinandergeschachtelte Wurzeln. Augenzwinkern

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Wurzel einer komplexen Zahl

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